[論文レビュー] The $B_\infty$-structure on the derived endomorphism algebra of the unit in a monoidal category

Wendy Lowen, Michel Van den Bergh|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、十分な投射的対象と平坦な投射的関手を持つモノイダル圏において、テンソル単位の導来自己準同型代数に $B_\infty$-代数構造を確立する。投射的分解への $A_\infty$-コアルゲブラ構造の持ち上げにより、この分解のコ・ホッホシュイルド複体は、導来自己準同型代数に quasi-isomorphic な $B_\infty$-代数を定める。これは、代数上の双モジュールの文脈における古典的なホッホシュイルドコホホロジーの結果を回復・一般化する。

ABSTRACT

Consider a monoidal category which is at the same time abelian with enough projectives and such that projectives are flat on the right. We show that there is a $B_{\infty}$-algebra which is $A_{\infty}$-quasi-isomorphic to the derived endomorphism algebra of the tensor unit. This $B_{\infty}$-algebra is obtained as the co-Hochschild complex of a projective resolution of the tensor unit, endowed with a lifted $A_{\infty}$-coalgebra structure. We show that in the classical situation of the category of bimodules over an algebra, this newly defined $B_{\infty}$-algebra is isomorphic to the Hochschild complex of the algebra in the homotopy category of $B_{\infty}$-algebras.

研究の動機と目的

• モノイダル圏におけるテンソル単位の導来自己準同型代数に $B_\infty$-代数構造を構成すること。
• 代数上の双モジュールの文脈を超えて、モノイダル圏の文脈にまで、デリーニのホッホシュイルドコホホロジーに関する予想を一般化すること。
• 投射的分解のコ・ホッホシュイルド複体を用いた、$B_\infty$-構造の新たな直接的構成法を提供すること。
• 古典的状況 $\mathrm{Bimod}(A)$ において、この構成がホモトピー圏において $A$ のホッホシュイルド複体と同型な $B_\infty$-代数を定めることを示すこと。
• 単位の分解の文脈におけるコ・ホッホシュイルド複体とホッホシュイルド複体の関係を明確にすること。

提案手法

• 投射的対象の平坦性および完全性の条件を用いて、テンソル単位 $I$ における自明な $A_\infty$-コアルゲブラ構造を、$I$ の投射的分解 $P$ に持ち上げる。
• 候補の $B_\infty$-代数として、コ・ホッホシュイルド複体 $\mathbf{C}_{\mathrm{coHoch}}(P) = \prod_n \Sigma^{-n} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(P, P^{\otimes n})$ を構成する。
• コ・ホッホシュイルド微分およびコ・ブレース作用を導入し、ホッホシュイルド複体とは双対的な $B_\infty$-構造を付与する。
• コ・ホッホシュイルド複体と導来自己準同型代数 $\mathrm{REnd}_{\mathcal{A}}(I)$ 間に $A_\infty$-quasi-isomorphism を確立する。
• $\mathcal{A} = \mathrm{Bimod}(A)$ の場合に、バー分解 $\tilde{B}A$ のコ・ホッホシュイルド複体が、ホモトピー圏における $B_\infty$-代数として $A$ のホッホシュイルド複体と同型であることを証明する。
• ホモトピー的投射性および $k$-投射性の仮定を用いて、導来圏における quasi-isomorphism と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分なホモロジー的構造を持つモノイダル圏において、テンソル単位の導来自己準同型代数に、自然な $B_\infty$-代数構造を canonical に構成できるか？
• RQ2 このような圏において、単位の投射的分解のコ・ホッホシュイルド複体と導来自己準同型代数の関係は何か？
• RQ3 状況 $\mathrm{Bimod}(A)$ の場合、バー分解 $\tilde{B}A$ のコ・ホッホシュイルド複体は、$B_\infty$-代数として $A$ のホッホシュイルド複体と quasi-isomorphic か？
• RQ4 導来圏において、ホッホシュイルド複体とコ・ホッホシュイルド複体の $B_\infty$-構造の正確な関係は何か？
• RQ5 高階圏的またはオペラッド的道具に依存せずに、導来自己準同型代数上の $B_\infty$-構造を構成できるか？

主な発見

• 十分な投射的対象と平坦な投射的関手を持つモノイダル圏 $\mathcal{A}$ において、テンソル単位の導来自己準同型代数 $\mathrm{REnd}_{\mathcal{A}}(I)$ は $B_\infty$-代数構造を有する。
• この $B_\infty$-構造は、$I$ の投射的分解 $P$ のコ・ホッホシュイルド複体から、持ち上げられた $A_\infty$-コアルゲブラ構造を介して得られる。
• 得られた $B_\infty$-代数は $\mathrm{REnd}_{\mathcal{A}}(I)$ に $A_\infty$-quasi-isomorphic であり、$B_\infty$-構造の新たな直接的構成を与える。
• 古典的状況 $\mathcal{A} = \mathrm{Bimod}(A)$ において、バー分解 $\tilde{B}A$ のコ・ホッホシュイルド複体は、ホモトピー圏における $B_\infty$-代数として $A$ のホッホシュイルド複体と同型である。
• この構成は、ショイケトおよびエルマンの先行結果を回復・一般化し、モノイダル圏における $B_\infty$-構造の統一的視点を提供する。
• ホッホシュイルド複体は非ゼロのブレース作用を持ち、コ・ホッホシュイルド複体は非ゼロのコ・ブレース作用を持つが、導来設定においては両者とも $B_\infty$-代数として同型であり、双対性が反映されている。