[論文レビュー] The Birch and Swinnerton-Dyer Formula for Elliptic Curves of Analytic Rank One

Dimitar Jetchev, Christopher Skinner+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、解析的ランクが1である $ \mathbb{Q}$ 上の半安定楕円曲線に対して、$p$-部の Birch and Swinnerton-Dyer 公式を、非可換 Iwasawa 理論と制御定理を用いてセレマー群を比較することで証明する。主な結果は、すべての素数 $p \geq 5$ および $p=3$ に対して、$p$-進 $L$-関数の中心導関数の $p$-進付値が、Tate–Shafarevich群とタマガワ数の積の $p$-進付値と一致することを示している。特に、特異的状況では $a_p(E) = 0$ の条件下で成り立つ。

ABSTRACT

Let $E/\mathbb{Q}$ be a semistable elliptic curve such that $\mathrm{ord}_{s=1}L(E,s) = 1$. We prove the $p$-part of the Birch and Swinnerton-Dyer formula for $E/\mathbb{Q}$ for each prime $p \geq 5$ of good reduction such that $E[p]$ is irreducible: $$ \mathrm{ord}_p \left (\frac{L'(E,1)}{Ω_E\cdot\mathrm{Reg}(E/\mathbb{Q})} ight ) = \mathrm{ord}_p \left (\#\mathrm{Sha}(E/\mathbb{Q})\prod_{\ell\leq \infty} c_\ell(E/\mathbb{Q}) ight ). $$ This formula also holds for $p=3$ provided $a_p(E)=0$ if $E$ has supersingular reduction at $p$.

研究の動機と目的

• 解析的ランクが1である $ \mathbb{Q}$ 上の楕円曲線に対する Birch and Swinnerton-Dyer 公式の $p$-部を確立すること。
• タマガワ数に制限を設けず、$p$ における通常的および特異的還元を両方許容するように、既存の結果を拡張すること。
• 非可換 Iwasawa 理論を用いて、通常的および特異的ケースを統一的に取り扱うこと。
• 中心導関数の $p$-進付値と、Tate–Shafarevich群とタマガワ数の積の $p$-進付値の等価性を検証すること。
• $p$-非特異的還元や $p$-互いに素なタマガワ因子を仮定する必要がある既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 適切な虚二次体 $ \mathcal{K}'$ に対する非可換 Iwasawa 理論を用いて、$p$-進 $L$-値とセレマー群を関連付ける。
• 制御定理（定理 3.3.1）を適用して、$\Lambda$-余ねじれセレマー群と $\mathbb{Z}_p$-余ねじれセレマー群を比較する。
• Gross–Zagier 公式と $p$-進高さの非消滅性を用いて、$p$-主セレマー群の大きさを評価する。
• $p$-進 Gross–Zagier 公式と、特異的 $p$-進 $L$-関数に対する Iwasawa 主予想に関する Wan の研究を組み合わせる。
• Heegner 点の $p$-進高さの非消滅性を用いて、Tate–Shafarevich群の $p$-主部分の下界を確立する。
• $p$-部の BSD 公式のランク 0 バージョン（定理 7.2.1 を通じて）を応用し、$E$ のねじれに関する $L$-関数の特別値を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的ランクが1である楕円曲線に対して、$p \geq 5$ かつ $E[p]$ が既約であるとき、$p$-部の BSD 公式は成り立つか？
• RQ2 タマガワ数が $p$ で割り切れる素数 $p$ を含めた場合に、公式を拡張できるか？
• RQ3 $p=3$ の特異的状況で $a_p(E) = 0$ の条件下では、公式は成り立つか？
• RQ4 Iwasawa 理論の文脈で、通常的および特異的ケースを一様に取り扱えるか？
• RQ5 $p$-互いに素なタマガワ因子や非特異的還元の仮定なしに、$p$-部の BSD 公式は成立するか？

主な発見

• すべての素数 $p \geq 5$ に対して、良い還元かつ $E[p]$ が既約で、$ \mathrm{ord}_{s=1}L(E,s) = 1$ である場合、$p$-部の BSD 公式が成り立つ。
• $p = 3$ の場合、$E$ が $p$ で特異的還元をとるとき、$a_p(E) = 0$ であれば公式が成り立つ。
• 上界と下界を用いて $ \#\cyr X(E/\mathbb{Q})[p^\infty]$ を評価することで、等式 $ \mathrm{ord}_p\left(\frac{L'(E,1)}{\Omega_E \cdot \mathrm{Reg}(E/\mathbb{Q})}\right) = \mathrm{ord}_p\left(\#\cyr X(E/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\ell} c_\ell(E/\mathbb{Q})\right)$ が確立された。
• 非可換 Iwasawa 理論と制御定理に基づく一様な枠組みを用いることで、通常的および特異的ケースが統一された。
• $p$-互いに素なタマガワ因子や非特異的還元の仮定を外すことで、既存の結果を拡張した。
• 方法は、Heegner 点の $p$-進高さの非消滅性と $p$-進 Gross–Zagier 公式に依存しており、これらは提示された仮定のもとで成立することが知られている。