[論文レビュー] The case of a generalised linear discrete time system with infinite many solutions

Nicholas Apostolopoulos, Fernando Ortega+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特異な平方係数行列と一貫性のない初期条件を有する一般化線形離散時間系に対して最適解を提案する。一意な解が存在しない状況において、行列ペンシル理論とワイエルシュトラス標準形を用いて、有限固有構造の列空間への射影により、与えられた初期条件と摂動された初期条件の間の2ノルム誤差を最小化する閉形式の最小二乗最適解を導出する。

ABSTRACT

In this article we study a class of generalised linear systems of difference equations with given non-consistent initial conditions and infinite many solutions. We take into consideration the case that the coefficients are square constant matrices with the leading coefficient singular. We provide optimal solutions and numerical examples to justify our theory.

研究の動機と目的

• 初期条件が一貫性のない場合に、一般化線形離散時間系において一意な解が存在しないという問題を解決する。
• 先行係数行列が特異なために無限に多くの解を持つ場合に、最適解を体系的に計算する手法を提供する。
• 既存の正則行列ペンシルに関する結果を一般化し、離散系における一貫性のない初期条件に対処できるようにする。
• ワイエルシュトラス標準形と直交射影に基づいて、計算に実用的な最適解の公式を確立する。
• 数値例を用いて理論的枠組みを正当化し、微小な摂動下でも収束性と安定性を示す。

提案手法

• 正則ペンシル $ sF - G $ の分析に行列ペンシル理論を適用し、非特異行列 $ P $ および $ Q $ を用いてワイエルシュトラス標準形に分解する。
• 解空間を有限および無限の基本因子に分解し、$ Q_p $, $ J_p $, および $ P_1 $, $ P_2 $ を用いて有限部分を分離する。
• 一般解を $ Y_k = Q_p J_p^k C + Q D_k $ と定式化する。ここで $ D_k $ は入力 $ V_k $ を表し、初期条件が一貫性のない場合に $ C $ は自由パラメータとなる。
• 初期条件が一貫性のない場合、$ \|Y_0 - \hat{Y}_0\|_2 $ を最小化するために $ Y_0 $ を $ Q_p $ の列空間に射影し、$ \hat{C} = (Q_p^* Q_p)^{-1} Q_p^* Y_0 $ を得る。
• 最適解を $ \hat{Y}_k = Q_p J_p^k (Q_p^* Q_p)^{-1} Q_p^* Y_0 $ と導出し、初期条件誤差を最小二乗法で最小化する。
• 数値例を用いて手法を検証し、初期条件がわずかに摂動された場合に最適解が真の解に非常に近い近似値を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異な先行係数行列と一貫性のない初期条件を有する一般化線形離散時間系に対して、最適解をどのように定義できるか。
• RQ2 行列ペンシルが特異なために無限に多くの解を持つ場合、解空間の数学的構造はどのようなものか。
• RQ3 行列ペンシル分解と直交射影を用いて、最小二乗最適解をどのように効率的に計算できるか。
• RQ4 初期条件が摂動されて一貫性を持つようになった場合、最適解と一意な解の関係は何か。
• RQ5 一貫性のない初期条件に対して、微小な摂動下で提案手法がどのように数値的に性能を発揮するか。

主な発見

• 一貫性のない初期条件に対する最適解は $ \hat{Y}_k = Q_p J_p^k (Q_p^* Q_p)^{-1} Q_p^* Y_0 $ で与えられ、与えられた初期状態と射影された初期状態の間の2ノルム誤差を最小化する。
• 初期条件が一貫性のない場合、系は無限に多くの解を持つが、最適解は一意であり、$ Q_p $ の列空間への直交射影により導出される。
• 例3.1では、最適解が $ \hat{Y}_k = \frac{1}{3 \cdot 5^k} \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 4 \\ \end{bmatrix} $ と得られ、$ Y_0 = [1,1,1,1,1]^T $ の射影から導出される。
• 例3.2では、一貫性のある初期条件が一意な解 $ Y_k = -\frac{4^k}{5^k} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} $ を与え、理論的枠組みを確認する。
• 例3.3では、微小な摂動 $ \|Y_0 - \hat{Y}_0\|_2 = 0.00018 $ に対して最適解 $ \hat{Y}_k = -\frac{12.9999 \cdot 4^k}{13 \cdot 5^k} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} $ が得られ、一貫性のある場合とほぼ同一である。
• この手法は安定性と連続性を保証する：初期条件の微小な変化は最適解の微小な変化にしか与えず、ロバストネスを確認する。