[論文レビュー] The centralizer of a C1 generic diffeomorphism is trivial

Bonatti, Christian, Sylvain Crovisier+1 more|ArXiv.org|May 2, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな連結多様体上の一般の $C^1$ 微分同相写像に対して、中心化群（それと可換な微分同相写像の集合）が自明であることを確立している。つまり、それと可換な微分同相写像は、その写像自身の整数乗に限られる。証明は局所的摂動技法と大域的構造的議論を組み合わせており、$C^1$位相における残渣性（residuality）を用いて、このような自明な中心化群が一般であるが、開集合ではないことを示している。

ABSTRACT

In this announcement, we describe the solution in the C1 topology to a question asked by S. Smale on the genericity of trivial centralizers: the set of diffeomorphisms of a compact connected manifold with trivial centralizer residual in Diff^1 but does not contain an open and dense subset.

研究の動機と目的

• コンパクトな連結多様体上の微分同相写像について、S. Smale が提起した『自明な中心化群は $C^1$ 位相で一般か』という問いに答えを出すこと。
• 自明な中心化群をもつ $C^1$ 微分同相写像の集合が $\mathrm{Diff}^1(M)$ において残渣的であることを証明し、Smale 問題の第二部に肯定的な答えを与えること。
• この集合が開でないことを示し、Smale 問題の第三部に否定的な答えを与えるため、非自明な中心化群をもつ $C^\infty$ 微分同相写像の $C^1$-稠密族を構成すること。
• 一般の $f$ に対して、可換な任意の微分同相写像は、$M$ の稠密な開部分集合上で $f^\alpha$ に一致し、その指数関数 $\alpha$ は一般の $f$ に対して全体で定数であることを確立すること。

提案手法

• $f$ が多数の反復において概ね線形に振る舞う小領域において、$f$ の微分を局所的に摂動する技法の使用。
• 長時間の帰還をもつ位相的タワーを用いて、非周期的軌道を制御し、摂動を長い時間にわたり広げる。
• $\mathrm{Diff}^1(M)$ からリプシッツ自己同相写像のコンパクト集合の空間への上半連続写像を用いて、中心化群の連続性を分析すること。
• 上半連続性を用いてバーレのカテゴリーよりも残渣的集合としての連続点を同定し、Baire の定理を応用すること。
• $C^1$ の閉じる補題を組み合わせ、残渣的集合内に双曲的周期点が存在することを保証し、無限大の帰還時間に関する矛盾を導く。
• 微分の成長による矛盾の使用：中心化群の元が一様にリプシッツ的であっても、無限大のべき乗に対応する場合、その微分は指数関数的に増大し、リプシッツの境界に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自明な中心化群をもつ $C^1$ 微分同相写像の集合は $\mathrm{Diff}^1(M)$ において稠密か？
• RQ2 この集合は $\mathrm{Diff}^1(M)$ において残渣的か、すなわち稠密な $G_\delta$ 集合を含むか？
• RQ3 自明な中心化群をもつ $C^1$ 微分同相写像の集合は、開かつ稠密な部分集合を含むか？
• RQ4 一般の $C^1$ 微分同相写像は、連続的一般化群（すなわち流れ）に埋め込めるか、あるいはルートをもつことができるか？
• RQ5 一般の $C^1$ 微分同相写像の中心化群の構造は何か？また、その群論的性質（例えば、冪零性や可解性）とはどのように関係するか？

主な発見

• 自明な中心化群をもつ $C^1$ 微分同相写像の集合は $\mathrm{Diff}^1(M)$ において残渣的であり、Smale 問題の第二部に肯定的な答えを与える。
• 一般の $f$ に対して、$f$ と可換な任意の $g$ は、$M$ の稠密な開部分集合上で $g = f^\alpha$ を満たし、$\alpha$ は局所定数である。
• 一般の $f$ に対して、指数 $\alpha$ は全体で定数であり、$Z^1(f) = \langle f \rangle$ となる。つまり、中心化群は自明である。
• 自明な中心化群をもつ $C^1$ 微分同相写像の集合は開ではない。これは、非自明な中心化群をもつ $C^\infty$ 微分同相写像の $C^1$-稠密族が存在するためである。
• $3$次元以上では、このような例は周期点の開集合をもつが、低次元では、流れの時間$1$写像として生じる。
• 一般の $C^1$ 微分同相写像の中心化群は、$\langle f \rangle$ を超えて非自明なアーベル群や、同様に冪零群を含まない。