[論文レビュー] The chi-y genera of relative Hilbert schemes for linear systems on Abelian and K3 surfaces

Lothar Göttsche, Vivek Shende|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、アーベル面およびK3面の曲線の線形系統上における相対ヒルベルトスキームの $χ_{-y}$ 指標について、準ヤコビ形式を用いた明示的公式を導出する。普遍的トロイダル積分とモジュラー性を用い、Kawai、Maulik-Pandharipande-Thomasの結果を一般化し、Göttsche-Shendeの予想を拡張する。生成関数が準ヤコビ形式およびモジュラー関数を用いて表現可能であり、$χ_{-y}$-指標および $Δ(y,q)$ のようなモジュラー形式を用いた明示的閉形式として表せることを証明する。

ABSTRACT

For an ample line bundle on an Abelian or K3 surface, minimal with respect to the polarization, the relative Hilbert scheme of points on the complete linear system is known to be smooth. We give an explicit expression in quasi-Jacobi forms for the chi-y genus of the restriction of the Hilbert scheme to a general linear subsystem. This generalizes a result of Yoshioka and Kawai for the complete linear system on the K3 surface, a result of Maulik, Pandharipande, and Thomas on the Euler characteristics of linear subsystems on the K3 surface, and a conjecture of the authors.

研究の動機と目的

• アーベル面およびK3面上の曲線の線形系統上における相対ヒルベルトスキームの $χ_{-y}$ 指標の普遍的公式を導出すること。
• オイラー特性数および精製された曲線数え上げに関する既知の結果を $χ_{-y}$ 指標の設定に一般化すること。
• GöttscheとShendeが提起した、これらの相対ヒルベルトスキームの $χ_{-y}$ 指標の生成関数に関する予想を証明すること。
• これらの指標の生成関数が、$Δ(y,q)$ や $χ_{-y}$-指標を含む、準ヤコビ形式およびモジュラー関数で表現可能であることを確立すること。

提案手法

• 著者らは、$t$ および $q$ 変数を用いて $n$ および $g$ を符号化することで、アーベル面およびK3面上の相対ヒルベルトスキームの $χ_{-y}$ 指標の生成関数 $ℐ$, $ℐ$, $ℐ$, $ℐ$ を定義する。
• 彼らは正規化された指標 $\overline{\chi}_{-y}(M) = y^{-\dim M/2} \chi_{-y}(M)$ を用い、チャーン根を介してベクトルバンドルに対して $X_{-y}(E)$ を定義する。
• 主な技術は、生成関数 $\mathbb{A}$ および $\mathbb{K}$ をモジュラー形式および準ヤコビ形式の形で表現することであり、特に関数 $X_{-y}(x)$ およびモジュラー判別式 $\widetilde{\Delta}(y,q)$ を用いる。
• 彼らは、べき級数 $\varepsilon(z_2)$ の逆数を求めるためにラグランジュの逆公式を適用し、$\mathbb{A}$ および $\mathbb{K}$ を $\widetilde{DG}_2(y,q)$ および $\widetilde{\Delta}(y,q)$ の形で明示的に表現する。
• 既知のトロイダル積分および普遍性の結果を活用し、$\chi_{-y}$ 指標が表面およびラインバンドルのチャーン類にのみ依存することを示す。
• 既知のケースに還元することで公式を検証する：$y=1$ の場合、結果はオイラー特性数を回復し、$y=-1$ の場合、実曲線の数え上げを回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル面およびK3面上の曲線の線形系統上における相対ヒルベルトスキームの $\chi_{-y}$ 指標は、普遍的かつ閉形式で表現可能か？
• RQ2 $\chi_{-y}$ 指標に符号化された精製された曲線数え上げは、モジュラー形式および準ヤコビ形式とどのように関係するか？
• RQ3 アーベル面およびK3面上の $\chi_{-y}$ 指標の生成関数に関する予想された公式は正当であるか、トロイダル積分から導出可能か？
• RQ4 生成関数 $\mathbb{A}$ および $\mathbb{K}$ の正確なモジュラー構造は何か？また、$\widetilde{DG}_2(y,q)$ および $\widetilde{\Delta}(y,q)$ とどのように関係するか？

主な発見

• アーベル面の生成関数 $\mathbb{A}$ は、$t = y^{1/2}$ に特異化したとき、$\frac{\widetilde{DG}_2(y,q)^k (D\widetilde{DG}_2(y,q))^{1-\chi(\mathcal{O}_S)/2}}{\widetilde{\Delta}(y,q)^{\chi(\mathcal{O}_S)/2}}$ で与えられる。ここで $k$ は線形系統の次数に関連する。
• K3面の生成関数 $\mathbb{K}$ は $x\mathbb{K} = \widetilde{\Delta}(y,q)$ を満たし、$\widetilde{\Delta}(y,q)$ は重さ12のモジュラー形式である。
• $\mathbb{X} = \frac{\mathbb{H}}{X_{-y}(\mathbb{H})}$ は $\frac{y^{1/2}(1 - e^{(y^{1/2}-y^{-1/2})\mathbb{H}})}{1 - y e^{(y^{1/2}-y^{-1/2})\mathbb{H}}}$ として表現可能であり、これにより普遍的指標 $X_{-y}$ と関連づけられる。
• $\mathbb{A}$ の公式は $\mathbb{A} = (y^{1/2} - y^{-1/2})^{-1} \left( A(y_1,q) + A(y_2,q) - A(y,q) \right)$ を通じて導出され、ここで $A(y,q) = \sum_{nd>0} \text{sgn}(d) n^2 (y^d - 1) q^{nd}$ である。
• $\mathbb{H} = D^{-1}\mathbb{A}$ は $\mathbb{A}$ を $q$ で積分することで得られ、$t = y^{1/2}$ に特異化したとき $\widetilde{DG}_2(y,q)$ を与える。
• $\mathbb{K}$ の公式の証明は、逆級数 $z_2(\varepsilon)$ にラグランジュの逆公式を適用することに依存し、これが $-S(y,x)$ に等しいことが示され、生成関数のモジュラー構造が確認される。