[論文レビュー] The classification of ends of properly convex real projective orbifolds II: Properly convex radial ends and totally geodesic ends

Suhyoung Choi|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Vinberg双対性とGoldman-Labourie-Margulis理論の一般化を用いて、ホロノミー表現の固有値条件を分析することで、実射影 $n$-次元軌道体における適切に凸な径方向および完全測地的端を分類する。非コンパクトで強くたんがい的であり、レンズ型または水平面型の端を持つ適切に凸な軌道体が、位相的制約を満たす場合、強く不可約なホロノミー群を持つことを証明する。

ABSTRACT

Real projective structures on $n$-orbifolds are useful in understanding the space of representations of discrete groups into $\mathrm{SL}(n+1, \mathbb{R})$ or $\mathrm{PGL}(n+1, \mathbb{R})$. A recent work shows that many hyperbolic manifolds deform to manifolds with such structures not projectively equivalent to the original ones. The purpose of this paper is to understand the structures of properly convex ends of real projective $n$-dimensional orbifolds. In particular, these have the radial or totally geodesic ends. For this, we will study the natural conditions on eigenvalues of holonomy representations of ends when these ends are manageably understandable. In this paper, we only study the properly convex ends. The main techniques are the Vinberg duality and a generalization of the work of Goldman, Labourie, and Margulis on flat Lorentzian $3$-manifolds. Finally, we show that a noncompact strongly tame properly convex real projective orbifold with generalized lens-type or horospherical ends satisfying some topological conditions always has a strongly irreducible holonomy group.

研究の動機と目的

• 実射影 $n$-次元軌道体における適切に凸な径方向および完全測地的端を分類すること。
• 関連する線形作用における固有値条件を通じて、そのような端のホロノミー表現を理解すること。
• 非コンパクトで強くたんがい的かつ適切に凸な軌道体のホロノミー群が強く不可約となる条件を確立すること。
• 双対性理論とアフィン作用を用いて、射影的設定におけるレンズ型およびT-型構造を特徴付けること。
• Koszulの開性結果をレンズ型端近傍へ拡張し、凸包と極限集合を分析すること。

提案手法

• 凸錐上の双対写像を通じて、径方向および完全測地的端を双対性によって関連付けるためにVinberg双対性を用いる。
• 一般化されたAnosov流れ理論と、端近傍上のチューブ型作用の双対となる、漸近的に良いアフィン作用を適用する。
• 一様な中間固有値条件の下で固有値推定技術を用い、レンズ型表現を特徴付ける。
• 発展写像とホロノミー準同型 $h: ilde{rak{O}} \to \mathbb{RP}^n$ を用いて、軌道体構造を $\mathbb{S}^n$ 内の凸領域に持ち上げる。
• Koszulの開性定理を適用して、基本群の表現空間においてレンズ性質が開いていることを示す。
• 端の凸包を構築し、アフィン接続と錐構造を用いて近傍の拡張・収縮を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切に凸な端が径方向または完全測地的であるための、ホロノミー表現における必要十分な固有値条件は何か？
• RQ2 Vinberg双対性と双対アフィン作用は、レンズ型およびT-型近傍の構造をどのように特徴付けるか？
• RQ3 非コンパクトで強くたんがい的かつ適切に凸な実射影軌道体のホロノミー群が強く不可約となる、位相的および幾何的条件は何か？
• RQ4 ホロノミー表現の小さな変形の下で、レンズ型および水平面型の端はどのように振る舞うか？
• RQ5 凸包と極限集合は、このような軌道体のグローバル構造を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 一般化されたレンズ型または水平面型の端を持つ、非コンパクトで強くたんがい的かつ適切に凸な実射影 $n$-軌道体が、適切な位相的制約を満たす場合、強く不可約なホロノミー群を持つ。
• レンズ型近傍は、ホロノミー表現における一様な中間固有値条件によって特徴付けられ、凸性と離散的不動点性が保証される。
• 双対写像は、適切に凸な径方向端（R-端）を完全測地的端（T-端）に交換し、重要な幾何学的および力学的性質を保存する。
• Koszulの定理の一般化により、表現空間におけるレンズ性質の開性が確立され、小さな変形に対しても安定性が保証される。
• 端近傍は、凸性と適切性を保ったまま拡張または収縮可能であり、与えられた条件下で端の凸包は適切に凸である。
• ホロノミーと可換な円作用 $S_t$ が端近傍上に存在することで、$C^r$-小な変形により厳密な凸性とヘッセ行列の正定性を保ったままアフィン構造を変形できる。