[論文レビュー] The cohomology of semi-infinite Deligne--Lusztig varieties

Charlotte Chan|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所体上の除法代数に付随する半無限のデリーニュ–ルスティグ多様体のコホロロジーに関するルスティグ1979年の予想を証明し、コホロロジーが純粋でかつ単一の次数に集中することを確立する。また、ホモロジーにおけるトーラス固有空間が既約超臨界表現であることを示し、有限型スキーム $X_h$ から構成された ind-スキームのコホロロジーを通じてこれらの表現の幾何的実現を与える。主な結果は、ホモロジー群の完全な記述であり、これは1つのコホロロジー次数に支持される既約表現をもたらす。

ABSTRACT

We prove a 1979 conjecture of Lusztig on the cohomology of semi-infinite Deligne--Lusztig varieties attached to division algebras over local fields. We also prove the two conjectures of Boyarchenko on these varieties. It is known that in this setting, the semi-infinite Deligne--Lusztig varieties are ind-schemes comprised of limits of certain finite-type schemes $X_h$. Boyarchenko's two conjectures are on the maximality of $X_h$ and on the behavior of the torus-eigenspaces of their cohomology. Both of these conjectures were known in full generality only for division algebras with Hasse invariant $1/n$ in the case $h = 2$ (the "lowest level") by the work of Boyarchenko--Weinstein on the cohomology of a special affinoid in the Lubin--Tate tower. We prove that the number of rational points of $X_h$ attains its Weil--Deligne bound, so that the cohomology of $X_h$ is pure in a very strong sense. We prove that the torus-eigenspaces of $H_c^i(X_h)$ are irreducible representations and are supported in exactly one cohomological degree. Finally, we give a complete description of the homology groups of the semi-infinite Deligne--Lusztig varieties attached to any division algebra, thus giving a geometric realization of the unramified supercuspidal representations of these groups. We expect that the techniques developed in this paper will be useful in studying these constructions for reductive groups over local fields in general.

研究の動機と目的

• 局所体上の除法代数に付随する半無限のデリーニュ–ルスティグ多様体のコホロロジーに関するルスティグ1979年の予想を証明すること。
• ボヤルチェンコの2つの予想、すなわち有限型スキーム $X_h$ の最大性およびコホロロジーにおけるトーラス固有空間の性質を検証すること。
• これらの ind-スキームのホモロジーを通じて、$p$-進群の超臨界表現の幾何的実現を提供すること。
• $X_h$ のコホロロジーがウェイ・デリーニュの境界に達することを確立し、強い意味での純粋性を示すこと。
• 半無限多様体のホモロジーにおけるトーラス固有空間の正確なコホロロジー次数および既約性を特定すること。

提案手法

• 有限型スキーム $X_h$ の極限として、ユニポテンツ群スキーム $\mathbb{U}_{h,k}$ を用いて、半無限のデリーニュ–ルスティグ多様体を ind-スキームとして構成する。
• ハウ因子分解を適用して、文字 $\theta$ を分析し、深さ $h$ およびノーム写像の構造を用いてコホロロジー次数 $r_\theta$ を決定する。
• ホモロジーとコンパクト-suppotd コホロロジーの間の双対性 $H_i(X_h) \cong H_c^{2(n-1)(h-1)-i}(X_h) \otimes q^{n(n-1)(h-1)}$ を用いて関係を確立する。
• グローバルホモロジーと $X_h$ 上の局所データを結ぶ同型 $H_i(\widetilde{X}_h) \cong \operatorname{Ind}_{\widetilde{\Gamma}_h}^{(L^\times/U_L^h) \times (D^\times/U_D^{n(h-1)+1})} H_i(X_h)$ を確立する。
• 有限ユニポテンツ群のデリーニュ–ルスティグ理論を適用し、固有空間の交代和を計算し、単一の次数での非消滅を証明する。
• トレース公式とガロア不変性を用いて、$\theta$ が $\operatorname{Gal}(L/K)$-安定化子を自明に持つとき、誘導表現 $\eta_\theta$ が既約であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所体上の除法代数に付随する半無限のデリーニュ–ルスティグ多様体のコホロロジーは、ウェイ・デリーニュの境界を満たし、純粋性を示すか？
• RQ2 $X_h$ のコホロロジーにおけるトーラス固有空間は既約表現であり、かつ単一のコホロロジー次数以外では消えるか？
• RQ3 半無限多様体のホモロジーは、$X_h$ からの誘導を通じて超臨界表現を幾何的に実現できるか？
• RQ4 コホロロジー次数 $r_\theta$ は $\theta$ のハウ因子分解によって決定され、$\ell$-adic ユークリッド指標から予想される次数と一致するか？
• RQ5 $D^\times$-表現 $H_{r_\theta}(\widetilde{X}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$ がいつ既約になるか？

主な発見

• $X_h$ の有理点の個数がウェイ・デリーニュの境界に達し、$H_c^i(X_h, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$ が強い意味で純粋であることを示唆する。
• トーラス固有空間 $H_i(\widetilde{X}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$ は、$i = r_\theta$ のときにのみ非ゼロであり、$r_\theta$ は $\theta$ のハウ因子分解によって決定される。
• $\theta$ が $\operatorname{Gal}(L/K)$-安定化子を自明に持つとき、ホモロジー群 $H_i(\widetilde{X}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$ は $D^\times$ の既約表現である。
• 表現 $\eta_\theta \cong \operatorname{Ind}_{\mathbb{Z} \cdot \mathcal{O}_D^\times}^{D^\times} \eta_\theta'$ は、$H_c^{r_\chi}(X_h, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\chi]$ から構成され、ここで $\chi = \theta|_{U_L^1}$ である。
• 非常に正則な元 $x \in \mathcal{O}_L^\times$ に対して、$\eta_\theta(x)$ のトレースは $(-1)^{r_\theta} \sum_{\gamma \in \operatorname{Gal}(L/K)} \theta^\gamma(x)$ に等しく、誘導表現の文字公式を確認する。
• 表現 $\eta_\theta^\circ$ は $\mathcal{O}_D^\times / U_D^{n(h-1)+1}$ に拡張可能であり、非常に正則な元 $\zeta \in \mathcal{O}_L^\times$ に対してトレースが $(-1)^{r_\theta} \theta(\zeta)$ に等しく、誘導プロセスと整合性を持つ。