[論文レビュー] The Complexity of Distributed Edge Coloring with Small Palettes

Yi‐Jun Chang, Qizheng He+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、LOCALモデルにおける小スケールパレットを用いた分散エッジ彩色のタイトな下界を確立し、$(2\Delta-2)$-エッジ彩色が高 probablyで$\Omega(\log_\Delta \log n)$時間、決定的には$\Omega(\log_\Delta n)$時間必要であることを証明している。これは、すなわち、木に対しても成り立つ。また、簡素化されたラウンド除去技術と、新たな確率的$\tilde{O}(\sqrt{\Delta})$-加法的パレットアルゴリズムを導入し、$O(\log \Delta \cdot T_{LLL})$時間で実行可能であり、木における$(1+\epsilon)\Delta$-エッジ彩色に対して、新たな分散LLLアルゴリズムを用いて、証明可能に最適な$O(\log \log n)$-時間アルゴリズムを開発した。

ABSTRACT

The complexity of distributed edge coloring depends heavily on the palette size as a function of the maximum degree $Δ$. In this paper we explore the complexity of edge coloring in the LOCAL model in different palette size regimes. 1. We simplify the \emph{round elimination} technique of Brandt et al. and prove that $(2Δ-2)$-edge coloring requires $Ω(\log_Δ\log n)$ time w.h.p. and $Ω(\log_Δn)$ time deterministically, even on trees. The simplified technique is based on two ideas: the notion of an irregular running time and some general observations that transform weak lower bounds into stronger ones. 2. We give a randomized edge coloring algorithm that can use palette sizes as small as $Δ+ ilde{O}(\sqrtΔ)$, which is a natural barrier for randomized approaches. The running time of the algorithm is at most $O(\logΔ\cdot T_{LLL})$, where $T_{LLL}$ is the complexity of a permissive version of the constructive Lovasz local lemma. 3. We develop a new distributed Lovasz local lemma algorithm for tree-structured dependency graphs, which leads to a $(1+ε)Δ$-edge coloring algorithm for trees running in $O(\log\log n)$ time. This algorithm arises from two new results: a deterministic $O(\log n)$-time LLL algorithm for tree-structured instances, and a randomized $O(\log\log n)$-time graph shattering method for breaking the dependency graph into independent $O(\log n)$-size LLL instances. 4. A natural approach to computing $(Δ+1)$-edge colorings (Vizing's theorem) is to extend partial colorings by iteratively re-coloring parts of the graph. We prove that this approach may be viable, but in the worst case requires recoloring subgraphs of diameter $Ω(Δ\log n)$. This stands in contrast to distributed algorithms for Brooks' theorem, which exploit the existence of $O(\log_Δn)$-length augmenting paths.

研究の動機と目的

• パレットサイズが最適でない、特に$2\Delta-1$のグリーディー閾値未満の場合のエッジ彩色の分散複雑度を理解すること。
• 分散エッジ彩色における下界を証明するためのラウンド除去技術を簡素化・強化すること。
• 特に$\Delta + \tilde{O}(\sqrt{\Delta})$および$(1+\epsilon)\Delta$-彩色を対象とした、効率的な確率的および決定的アルゴリズムを開発すること。
• 木構造の依存関係グラフに対する分散Lovász Local Lemma (LLL) の複雑度を解明すること。これは、小スケールパレットエッジ彩色の主要な素因である。

提案手法

• 不規則な実行時間の導入と弱い下界の活用により、ラウンド除去技術を簡素化し、強い下界を導出する。
• パレットサイズ$\Delta + \tilde{O}(\sqrt{\Delta})$を用いた新しい確率的エッジ彩色アルゴリズムを導入し、実行時間は$O(\log \Delta \cdot T_{LLL})$、ここで$T_{LLL}$は許容的な構成的LLLの複雑度を表す。
• 木構造の依存関係グラフに対して、基準$p(ed)^\lambda < 1$の下で$O(\log n)$-時間の決定的LLLアルゴリズムを開発し、木における効率的な彩色を可能にした。
• 木における感染プロセスを模倣することで、$O(\log_\lambda \log n)$-時間で依存関係グラフを$O(\log n)$-サイズのコンポonentに分割する、新規のグラフシャッタリング手法を提案した。
• 決定的LLLアルゴリズムとシャッタリング手法を統合し、$(1+\epsilon)\Delta$-エッジ彩色の総実行時間として$O(\max\{\log_\lambda \log n, \log \log n / \log \log \log n\})$を達成した。
• 完全二部グラフを含むレイヤードグラフの再帰的構築を用いて、反復的彩色アルゴリズムにおける再彩色が必要な部分グラフの直径に関する下界を証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LOCALモデルにおける$(2\Delta-2)$-エッジ彩色の分散時間複雑度は何か？ また、より単純な技術を用いて下界を示せるか？
• RQ2 パレットサイズを$\Delta + \tilde{O}(\sqrt{\Delta})$にまで小さくした確率的エッジ彩色は可能か？ また、LLLの複雑度に依存する実行時間はどのようになるか？
• RQ3 木構造の依存関係グラフに対する証明可能に最適な分散LLLアルゴリズムは存在するか？ そして、それが木における高速なエッジ彩色に利用可能か？
• RQ4 $(2\Delta-1)$-閾値未満に部分彩色を拡張する反復的エッジ彩色アルゴリズムにおいて、再彩色が必要な部分グラフの最小直径は何か？
• RQ5 グラフシャッタリングフレームワークを分散LLLの木への適用に適応させ、対数未満の時間複雑度を達成できるか？

主な発見

• 本稿は、確率的LOCALモデルにおいて$(2\Delta-2)$-エッジ彩色に$\Omega(\log_\Delta \log n)$-時間の下界を証明し、決定的モデルでは$\Omega(\log_\Delta n)$-時間の下界を示した。これは、木に対しても成り立つ。
• パレットサイズ$\Delta + \tilde{O}(\sqrt{\Delta})$を用い、$O(\log \Delta \cdot T_{LLL})$時間で実行される確率的エッジ彩色アルゴリズムを開発した。ここで$T_{LLL}$は許容的構成的LLLの複雑度を表す。
• 木構造のグラフに対しては、木構造の依存関係グラフ向けの新規分散LLLアルゴリズムを用いて、$(1+\epsilon)\Delta$-エッジ彩色を$O(\log \log n)$-時間で達成した。
• 基準$p(ed)^\lambda < 1$の下で、木のための決定的LLLアルゴリズムは$O(\max\{\log_\lambda n, \log n / \log \log n\})$-時間で実行され、対数的要因を除いて最適である。
• グラフシャッタリング手法により、LLLパrameterに依存せず、$O(\log_\lambda \log n)$-時間で依存関係グラフを$O(\log n)$-サイズのコンポーネントに分割できた。これは、木における安定な感染プロセスの模倣によって達成された。
• 本稿は、$(\Delta+1)$-エッジ彩色の反復的増幅パス法が、最悪ケースで直径$\Omega(\Delta \log n)$の部分グラフを再彩色する必要があることを示した。これは、Brooksの定理のアルゴリズムで用いられる$O(\log_\Delta n)$-パスとは対照的である。