[論文レビュー] The comprehension construction

Emily Riehl, Dominic Verity|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Lurieのアンストレート化の∞-圏的類似物としての理解構築構成を導入する。これは、∞-圏AからBへの関手を、B上のcocartesian fibrationに沿った引き戻しに写像する。この構成がYoneda埋め込みを特別な場合として含むことを確立し、quasi圏とKan複体に倣った圏のホモトピー連続神経の間の明示的同値により、完全忠実性を証明する。

ABSTRACT

In this paper we construct an analogue of Lurie's "unstraightening" construction that we refer to as the "comprehension construction". Its input is a cocartesian fibration $p \colon E o B$ between $\infty$-categories together with a third $\infty$-category $A$. The comprehension construction then defines a map from the quasi-category of functors from $A$ to $B$ to the large quasi-category of cocartesian fibrations over $A$ that acts on $f \colon A o B$ by forming the pullback of $p$ along $f$. To illustrate the versatility of this construction, we define the covariant and contravariant Yoneda embeddings as special cases of the comprehension functor. We then prove that the hom-wise action of the comprehension functor coincides with an "external action" of the hom-spaces of $B$ on the fibres of $p$ and use this to prove that the Yoneda embedding is fully faithful, providing an explicit equivalence between a quasi-category and the homotopy coherent nerve of a Kan-complex enriched category.

研究の動機と目的

• quasi圏などの特定のモデルに依存しない、∞-コスモス内での∞-圏論の合成的・公理的枠組みを構築すること。
• Lurieのアンストレート化構成を、新規の構成である理解構築構成を用いてより広い設定に一般化すること。
• 共変および反変Yoneda埋め込みが、この理解構築関手の特別な場合であることを示すこと。
• 理解構築関手を用いて、quasi圏とKan複体に倣った圏のホモトピー連続神経との明示的逆同値を構成することで、Yoneda埋め込みの完全忠実性を証明すること。
• 理解構築関手がホモトピー空間上に作用する際、B内のホモトピー空間Hom_B(a,b)がcocartesian fibrationの纤维上に外部作用をもたらすことに対応すること。

提案手法

• 理解構築構成は、各関手f: A → Bに沿って固定されたcocartesian fibration p: E ↠ Bを引き戻することによって得られる、関手の∞-圏Fun(A, B)からA上のcocartesian fibrationの∞-圏への関手として定義される。
• この構成は、quasi圏や完全セーガル空間などのモデルを抽象化する∞-コスモイの理論に依存している。
• ホモトピー連続神経とホモトピー連続実現は、高次圏的構造をモデル化し、∞-コスモス内の関手複体を計算するために用いられる。
• 理解構築関手がホモトピー空間上に作用する方法は、引き戻し図式と関手複体の計算を用いて、Bの点b上のpの纤维上におけるHom_B(a,b)の外部作用と一致することが示される。
• Yoneda埋め込みの完全忠実性の証明は、理解構築構成とcocartesian fibrationの普遍性を用いて、明示的な逆同値を構成することで行われる。
• 論文は、∞-コスモスのホモトピー2圏を用いて、随伴や極限などの2圏的構成をホモトピー的に意味のある方法で形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lurieのアンストレート化構成は、∞-圏論における合成的・モデルに依存しない枠組みにどのように一般化できるか？
• RQ2 Yoneda埋め込みは、cocartesian fibrationの文脈において、より一般の構成の特別な場合として導出可能か？
• RQ3 理解構築関手がホモトピー空間上に作用する方法と、cocartesian fibrationの纤维上におけるHom_B(a,b)の外部作用との正確な関係は何か？
• RQ4 理解構築構成は、ホモトピー連続神経とKan複体に倣った圏の神経とどのように関係するか？
• RQ5 ∞-コスモイの文脈において、理解構築構成が満たす普遍的性質は何か？

主な発見

• 理解構築構成は、各関手f: A → Bに沿った引き戻しによって定義される、Fun(A, B)からA上のcocartesian fibrationの∞-圏への関手を提供する。
• Yoneda埋め込みは、理解構築構成の特別な場合であることが示され、これはB上の恒等関手に適用した場合に当たる。
• 理解構築関手がホモトピー空間上に作用する方法は、引き戻し図式と関手複体の同型を用いて、pのb上の纤维上におけるHom_B(a,b)の外部作用と同値であることが示された。
• Yoneda埋め込みは完全忠実であり、quasi圏BとB上の代表的cartesian fibrationの全部分圏のホモトピー連続神経との間に明示的な逆同値が構成された。
• 完全忠実性の証明は、写像(7.2.13)が同値であることを示すことに依存し、その逆は関手(7.2.12)によって与えられ、関手複体の標準的同一視が確立される。
• この構成により、B上の代表的cartesian fibrationの全部分圏のホモトピー連続神経がB自体と同値であることが示され、quasi圏が豊密化された圏の観点からのモデルに依存しない特徴づけが得られた。