[論文レビュー] A double-dimensional approach to formal category theory

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、形式的圏論を形式化するための拡張された仮想二重圏枠組みを導入し、特にモノイド圏などの代数的文脈にヤノーダの補題を拡張する。適切な条件下で、プレシャーブへのヤノーダ埋め込みがT代数へと持ち上がることを確立し、その結果得られるプレシャーブ圏が代数的設定における自由な小さな上向き完備化であることを証明する。これにより、デイの畳み込みとイム＝ケリーの自由モノイド的上向き完備化に関する結果が回復される。

ABSTRACT

Whereas formal category theory is classically considered within a $2$-category, in this paper a double-dimensional approach is taken. More precisely we develop such theory within the setting of augmented virtual double categories, a notion extending that of virtual double category by adding cells with nullary target. [...] After this the notion of `weak' Kan extension within an augmented virtual double category is considered, together with three strengthenings. [...] The notion of yoneda embedding is then considered in an augmented virtual double category, and compared to that of a good yoneda structure on a $2$-category; the latter in the sense of Street-Walters and Weber. Conditions are given ensuring that a yoneda embedding $y \colon A o \hat A$ defines $\hat A$ as the free small cocompletion of $A$, in a suitable sense. In the second half we consider formal category theory in the presence of algebraic structures. In detail: to a monad $T$ on an augmented virtual double category $\mathcal K$ several augmented virtual double categories $T ext-\mathsf{Alg}_{(v, w)}$ of $T$-algebras are associated, [...]. This is followed by the study of the creation of, amongst others, left Kan extensions by the forgetful functors $T ext-\mathsf{Alg}_{(v, w)} o \mathcal K$. The main motivation of this paper is the description of conditions ensuring that yoneda embeddings in $\mathcal K$ lift along these forgetful functors, as well as ensuring that such lifted algebraic yoneda embeddings again define free small cocompletions, now in $T ext-\mathsf{Alg}_{(v, w)}$. As a first example we apply the previous to monoidal structures on categories, hence recovering Day convolution of presheaves and Im-Kelly's result on free monoidal cocompletion, as well as obtaining a "monoidal Yoneda lemma".

研究の動機と目的

• 古典的なヤノーダの補題をモノイド圏などの代数的構造を有する設定に一般化すること。
• ラックスモノイド関手とプロファイラーを両方取り扱える二重圏的枠組みを用いて、モノイド的ヤノーダの補題を形式化すること。
• プレシャーブへのヤノーダ埋め込みが、T代数から基底圏への忘却関手に沿って持ち上がる条件を同定すること。
• 持ち上がったヤノーダ埋め込みがT代数の圏における自由な小さな上向き完備化を定義することを証明すること。
• デイの畳み込みやイム＝ケリーの自由モノイド的上向き完備化に関する古典的結果を回復および一般化すること。

提案手法

• 本稿は、空のターゲットセルを許容することにより仮想二重圏を拡張する拡張された仮想二重圏の理論を展開する。
• この枠組み内において、ボルチェイ＝ケリー、ストリートの点毎拡張、およびそれらを統合した三つの弱いカーン拡張の概念を導入する。
• 拡張された仮想二重圏における良いヤノーダ構造を定義し、ヤノーダ埋め込みが自由な小さな上向き完備化を誘導する条件を特徴づける。
• 拡張された仮想二重圏上のモノイドTに対してT代数を構成し、指定された整合性型を持つT代数の圏T-Alg(v,w)を形成する。
• 忘却関手T-Alg(v,w) →Kがカーン拡張を生成することを証明し、適切な条件下でヤノーダ埋め込みがそれらに沿って持ち上がることを示す。
• この枠組みをモノイド圏に適用し、デイの畳み込みが自然に現れ、(bA, b⊗)が(A, ⊗)の自由モノイド的上向き完備化であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤノーダの補題は、モノイド圏などの代数的構造を有する設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 モノイドTに対して、プレシャーブへのヤノーダ埋め込みがT代数の圏へと持ち上がる条件は何か？
• RQ3 T-Alg(v,w)における持ち上がったヤノーダ埋め込みが、依然として自由な小さな上向き完備化を定義する条件は何か？
• RQ4 代数的設定において、ラックスモノイドプロファイラーとヤノーダ埋め込みによって誘導されるラックスモノイド関手との関係は何か？
• RQ5 拡張された仮想二重圏におけるカーン拡張の理論は、デイの畳み込みのような古典的結果をどのように回復できるか？

主な発見

• 基底圏Kが適切な条件を満たすとき、ヤノーダ埋め込みy: A → bAはT-Alg(c,l)およびT-Alg(c,ps,lbc)においてもヤノーダ埋め込みへと持ち上がる。
• T-Alg(c,l)における持ち上がったヤノーダ埋め込みは、bAをAのS(c,l)-上向き完備化として定義する。ここでS(c,l)は左拡張図式のイデアルである。
• 同様にT-Alg(c,ps,lbcに対しても成り立ち、自由な上向き完備化が代数的構造の下でも保存されることを示す。
• 本稿はモノイド的ヤノーダの補題を確立する：任意のラックスモノイドプロファイラーJに対して、誘導される関手J^λはラックスモノイド的であり、bA(y–, J^λ–) ≅ Jがラックスモノイドプロファイラーとして成り立つ。
• この構成により、ヤノーダ埋め込みによって誘導されるbA上のモノイド構造としてデイの畳み込みが回復される。
• 任意の小さなV-上向き完備なモノイド的V-圏Nに対して、自然な同型MonCat(l,cocts)(bM, N) ≃ MonCatl(M, N)が存在し、[IK86]の定理5.1が回復される。