[論文レビュー] The derived non-commutative Poisson bracket on Koszul Calabi-Yau algebras

Xiaojun Chen, Alimjon Eshmatov+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コシュールおよびN-コシュールカルビ・ヤウ代数に、導来非可換ポアソン構造を構成し、それが循環ホモロジーに階数付きリーブラケット構造、ホッホシュャイルドホモロジーにリーモジュール構造を誘導することを示している。コンネスの長完全系列がリーモジュールの系列であることが示され、リービニッツ-ロジット括弧が、コシュール双対代数のホッホシュャイルドコホモロジー上のゲルステンハーバー括弧へ自然に写像されることにより、非可換ポアソン幾何学とホモロジー代数との深い関係が明らかにされている。

ABSTRACT

Let $A$ be a Koszul (or more generally, $N$-Koszul) Calabi-Yau algebra. Inspired by the works of Kontsevich, Ginzburg and Van den Bergh, we show that there is a derived non-commutative Poisson structure on $A$, which induces a graded Lie algebra structure on the cyclic homology of $A$; moreover, we show that the Hochschild homology of $A$ is a Lie module over the cyclic homology and the Connes long exact sequence is in fact a sequence of Lie modules. Finally, we show that the Leibniz-Loday bracket associated to the derived non-commutative Poisson structure on $A$ is naturally mapped to the Gerstenhaber bracket on the Hochschild cohomology of its Koszul dual algebra and hence on that of $A$ itself. Relations with some other brackets in literature are also discussed and several examples are given in detail.

研究の動機と目的

• コシュールおよびN-コシュールカルビ・ヤウ代数に対して、非可換ポアソン構造の導来設定への拡張を図ること。
• 導来非可換ポアソン構造が、その代数の循環ホモロジーに階数付きリーブラケット構造を誘導することを示すこと。
• ホッホシュャイルドホモロジーが循環ホモロジー上のリーモジュールであることを確立し、コンネスの長完全系列がリーモジュールの系列であることを示すこと。
• 導来ポアソン構造上のリービニッツ-ロジット括弧が、コシュール双対代数のホッホシュャイルドコホモロジー上のゲルステンハーバー括弧へ自然に写像されることを示すこと。
• 多項式代数を含む具体的な例を提示し、文献における他の括弧との関係を明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、循環コモノイドのコバー構成を用いて代数のコーブラント解体を得ることで、導来非可換ポアソン構造の定義を可能としている。
• 彼らは、循環ホモロジーから導来表現スキームのホモロジーへの導来トレース写像を定義し、この写像がリーブラケット構造を保つことを示している。
• この構成は、BV作用素と体積形式を通じた双模.exportsと微分形式の間の同型に依拠している。
• コシュール双対代数におけるゲルステンハーバー括弧が、導来トレース写像によるリービニッツ-ロジット括弧の像と同型であることが示された。
• 体積形式を通じた多様体ベクトル場と微分形式の間の同型を用いて、循環ホモロジー上のリーブラケットを、縮約と外微分の観点から表現している。
• 多項式代数に対して、体積形式とホッジスター同型を用いて、形式と多様体ベクトル場の関係を明示的に計算している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コシュールカルビ・ヤウ代数に導来非可換ポアソン構造をどのように定義できるか、そしてそのホモロジー的性質は何か？
• RQ2 導来非可換ポアソン構造が、その代数の循環ホモロジーに階数付きリーブラケット構造を誘導するか？
• RQ3 コシュールカルビ・ヤウ代数のホッホシュャイルドホモロジーは、その循環ホモロジー上のリーモジュールか？ そしてこれはコンネスの長完全系列とどのように関係するか？
• RQ4 導来ポアソン構造上のリービニッツ-ロジット括弧は、コシュール双対代数のホッホシュャイルドコホモロジー上のゲルステンハーバー括弧とどのように関係するか？
• RQ5 多項式代数における循環ホモロジー上のリーブラケットの明示的形は何か？ そしてそれは微分形式や縮約とどのように関係するか？

主な発見

• コシュールカルビ・ヤウ代数に導来非可換ポアソン構造を定義すると、その循環ホモロジーに階数付きリーブラケット構造が誘導される。
• この代数のホッホシュャイルドホモロジーは、循環ホモロジー上のリーモジュールであり、コンネスの長完全系列はリーモジュールの系列である。
• 導来ポアソン構造上のリービニッツ-ロジット括弧は、コシュール双対代数のホッホシュャイルドコホモロジー上のゲルステンハーバー括弧へ自然に写像される。
• 多項式代数 $\mathrm{Sym}(V)$ に対して、循環ホモロジー上のリーブラケットは、$\{\alpha,\beta\} = (-1)^{(m-|\alpha|-1)(m-|\beta|)} \iota_{\eta} d\alpha$ で与えられる。ここで $\eta = \Psi^{-1}(d\beta)$ である。
• 循環ホモロジー上の括弧はヤコビ恒等式を満たさないため、$\mathrm{HH}_\bullet(A)$ 上にリーブラケット構造を定義しないが、リーモジュール構造にはなる。
• 多項式代数の場合、循環双対コモノイドは、最高次元の単項式における値によって一意に定まる次数 $-m$ の循環形式を備えている。