[論文レビュー] The differential topology of loop spaces

Andrew Stacey|ArXiv.org|Oct 5, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有限次元多様体内の滑らかなループの空間の微分位相を確立し、位相的ベクトル空間における無限次元解析を用いてループ空間に滑らかな多様体構造を構成する。接バンドル、ベクトルバンドル、接続のループ空間が滑らかな構造を備えることを示し、チューブ型近傍や極化といった重要な道具を導入。半無限幾何やループ群表現への応用を含む。

ABSTRACT

This is an introduction to the subject of the differential topology of the space of smooth loops in a finite dimensional manifold. It began as the background notes to a series of seminars given at NTNU and subsequently at Sheffield. I am posting them in the hope that they will be useful to people wishing to know a little about the basics of the subject. I have tried to make them readable by anyone with a good grounding in finite dimensional differential topology. Any comments and suggestions for improvement will be very welcome. The topics covered are: the smooth structure of the space of smooth loops; constructions involving vector bundles; submanifolds and tubular neighbourhoods; and a short introduction to the geometry and semi-infinite structure of loop spaces.

研究の動機と目的

• 標準的な有限次元微分位相と無限次元解析の技術的深さの間のギャップを埋めるために、滑らかなループ空間の微分位相について自己完結的でアクセス可能な入門を提供すること。
• 有限次元多様体内の滑らかなループの空間が、バナッハ空間に台づけられていないにもかかわらず、明確に定義された滑らかな多様体構造を備えていることを確立すること。
• ベクトルバンドル、接続、主バンドルといった有限次元多様体からの構成をループ空間の文脈に拡張し、それらが一貫して「ループ化」されることを示すこと。
• 特に基点を固定するループや円周作用の固定点集合であるようなループ空間の部分多様体を調査し、それらの部分多様体にチューブ型近傍が存在することを証明すること。
• ループ空間の半無限幾何を導入し、極化や半無限外積を含め、それらがループ群表現や指標理論とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 任意の位相的ベクトル空間に台づく多様体理論（[KM97] からのもの）を用いて、滑らかなループの空間に滑らかな構造を定義し、バナッハ空間フレームワークに依存しないようにする。
• 指数写像とジャンプ空間に基づく局所チャートを用いた明示的なアトラスを構成し、Fréchet空間における微積分を用いて移行関数が滑らかであることを証明する。
• 接バンドルのループ空間 $ L(TM) $ がループ空間の接バンドル $ T(LM) $ に自然に微分同相であることを示し、$ TLM $ に自然な滑らかな構造が備わることを確立する。
• ベクトルバンドル、フレームバンドル、接続に対してループ化の構成を適用し、これらがループ空間レベルに一貫して持ち上がることを示す。
• 点ごとの制約（例えば、基点を固定するループ）によって定義される部分多様体を分析し、それらがチューブ型近傍を備えていることを証明し、基本的ファイブレーション $ \nabla M \to LM \to M $ の局所自明性を示す。
• ループ空間を正負の周波数成分に分割することによる極化の概念を導入し、$ L_+E $ と $ L_-E $ が明確に定義されないものの、それらの半無限外積は定義可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元多様体内の滑らかなループの空間は、バナッハ空間の枠組みを除いても一貫した滑らかな多様体構造を備えられるか？
• RQ2 ベクトルバンドル、接続、主バンドルといった標準的な幾何的対象は、ループ化の構成においてどのように振る舞うか？
• RQ3 ループ空間の部分多様体（例えば、基点を固定するループや円周作用の固定点集合）がチューブ型近傍を備える条件は何か？
• RQ4 極化はループ空間の半無限幾何において果たす役割は何か？そして、それらはループ群表現とどのように関連するか？
• RQ5 余接バンドルのループ空間 $ L(T^*M) $ は、ループ空間の余接バンドル $ T^*(LM) $ と同一視可能か？そうでない場合、なぜループ化の操作がここでは失敗するのか？

主な発見

• 有限次元多様体 $ M $ 内の滑らかなループ空間 $ LM $ は、$ \mathbb{R}^n $ 内の滑らかなループの空間に台づくFréchet空間に基づく明確な滑らかな多様体構造を備え、滑らかな移行関数を持つ。
• 接バンドルのループ空間 $ L(TM) $ は、自然にループ空間の接バンドル $ T(LM) $ に微分同相であり、滑らかな構造を保存する。
• 多様体 $ M $ 上のベクトルバンドル、フレームバンドル、接続は、それらがループ空間 $ LM $ 上に対応する対象に誘導され、接続のループはループバンドル上の接続に一貫して持ち上がることを示す。
• 余接バンドルのループ空間 $ L(T^*M) $ は、ループ空間の余接バンドル $ T^*(LM) $ に微分同相ではない。これにより、ループ化の構成が余接バンドルには適用できないことが示される。
• 基点を固定するループ空間 $ \Omega M $ や円周作用の固定点部分多様体といった部分多様体はチューブ型近傍を備え、基本的ファイブレーション $ \Omega M \to LM \to M $ が局所自明であることを示唆する。
• 半無限外積 $ \Lambda^{\bullet + \infty/2}(LE)^* \cong \Lambda^\bullet(L_+E)^* \widetilde{\otimes} \Lambda^\bullet L_-E $ は明確に定義されており、極化の選び替えに対して不変である。これにより、ループ空間上の半無限コホモロジーおよび指標理論の基礎が築かれる。