[論文レビュー] The diffusive competition problem with a free boundary in heterogeneous time-periodic environment

Qiaoling Chen, Fengquan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時間周期的で非一様な環境下における自由境界を伴う拡散的競争モデルを研究しており、侵入種（u）が初期領域から拡散し、同時に在来種（v）と競争する状況を扱う。スプライディング・バニッシュィング二分法が確立され、拡散または絶滅の十分条件が提示され、補助問題の周期解を用いたスプライディング速度の概算がなされる。

ABSTRACT

In this paper, we consider the diffusive competition problem with a free boundary and sign-changing intrinsic growth rate in heterogeneous time-periodic environment, consisting of an invasive species with density $u$ and a native species with density $v$. We assume that $v$ undergoes diffusion and growth in $R^{N}$ , and $u$ exists initially in a ball $B_{h_0}(0)$, but invades into the environment with spreading front $\{r = h(t)\}$. The effect of the dispersal rate $d_1$, the initial occupying habitat $h_0$, the initial density $u_0$ of invasive species $u$, and the parameter $μ$ (see (1.3)) on the dynamics of this free boundary problem are studied. A spreading-vanishing dichotomy is obtained and some sufficient conditions for the invasive species spreading and vanishing are provided. Moreover, when spreading of $u$ happens, some rough estimates of the spreading speed are also given.

研究の動機と目的

• 時間周期的で非一様な環境下で、在来種と競争する侵入種の長期的ダイナミクスを理解すること。
• 拡散率 $ d_1 $、初期生息域サイズ $ h_0 $、初期密度 $ u_0 $、および競争パラメータ $ \mu $ が侵入結果に与える影響を検討すること。
• 符号が変化する固有成長率を有する自由境界問題に対して、スプライディング・バニッシュィング二分法を確立すること。
• 侵入種が成功して拡散するか、または消滅するかの十分条件を導出すること。
• 拡散が発生する場合の侵入種の漸近的スプライディング速度を推定すること。

提案手法

• 自由境界 $ h(t) $ を伴う反応拡散系を定式化し、拡散フロントはステファン型条件 $ h'(t) = -\mu u_r(t, h(t)) $ に従って進化する。
• 成長、自己制限、および競争項に時間周期的かつホルダー連続な係数を課し、上界および下界を満たす。
• 比較原理および単調性の議論を用いて、定数または周期的係数を有する補助問題との解を比較する。
• 時間周期的係数を有する関連するロジスティック方程式に対する正の T-周期解の存在および一意性を分析する。
• スプライディング速度を特徴付ける関数 $ K_0(\mu, a, b) $ を導入し、これはスカラー常微分方程式の周期解から導かれる。
• 関数 $ K_0 $ を用いて、極値係数関数を用いて $ h(t) $ のスプライディング速度の上界および下界を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 侵入種 $ u $ が非一様な時間周期的環境下で、どのような条件下で拡散するか、あるいは消滅するか。
• RQ2 拡散率 $ d_1 $、初期生息域サイズ $ h_0 $、初期密度 $ u_0 $、パラメータ $ \mu $ がスプライディングまたはバニッシュィングの結果にどのように影響を与えるか。
• RQ3 侵入種が成功して拡散する場合の漸近的スプライディング速度は何か。
• RQ4 空間全体で進化する在来種 $ v $ の存在が、$ u $ のスプライディングダイナミクスにどのように影響を与えるか。
• RQ5 極値係数を有する補助問題の周期解を用いて、$ u $ のスプライディング速度を推定できるか。

主な発見

• スプライディング・バニッシュィング二分法が成立する：すなわち、侵入種 $ u $ は無限に拡散する（$ h(t) \to \infty $）か、あるいは有限の極限 $ h_\infty < \infty $ に収束する（バニッシュィング）。
• 初期生息域サイズ $ h_0 $、初期密度 $ u_0 $、パラメータ $ d_1 $ および $ \mu $ に基づくスプライディングの十分条件が導出され、特に有効成長率が十分に正である場合に成立する。
• スプライディングが発生する場合、スプライディング速度は不等式 $ \frac{1}{T}\int_0^T K_0(\mu, m_{1,*} - c_1^* V^*, b_1^*) \, dt \leq \liminf_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq \limsup_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} \leq \frac{1}{T}\int_0^T K_0(\mu, m_1^*, b_{1,*}) \, dt $ を満たす。
• 関数 $ K_0(\mu, a, b) $ はその引数に関して適切に定義され、連続であり、$ 0 < \frac{1}{T}\int_0^T K_0(\mu, a, b) \, dt < 2\sqrt{\frac{d}{T}\int_0^T a(t) \, dt} $ を満たすため、スプライディング速度の有界性が保証される。
• 補助問題の周期解 $ U^K $ は正であり、$ r $ に関して厳密に増加し、$ r \to \infty $ のとき一様に正の T-周期解 $ V(t) $ に収束する。
• もし $ K_1 \leq K $ かつ $ K_1 \not\equiv K $ ならば、$ U^{K_1}(t,r) > U^K(t,r) $ および $ U^{K_1}_r(t,0) > U^K_r(t,0) $ が成り立つ。これは境界フラックスに関しての単調性を示している。