[論文レビュー] The Dirichlet problem for degenerate complex Monge-Ampere equations

D. H. Phong, Jacob Sturm|ArXiv.org|Apr 13, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、境界を伴うコンpact Kähler多様体上で、非負かつある除法式に関して正性条件を満たすコhomology類を持つ場合の、退化複素Monge-Ampère方程式の解について、$C^{1,\beta}$ 型の正則性推定を確立する。主な結果は、各テスト配置に対して $C^{1,\beta}$ 型の測地線の放射を構成することであり、退化ケースにおける正則性のギャップを解消する。

ABSTRACT

The Dirichlet problem for a Monge-Ampere equation corresponding to a nonnegative, possible degenerate cohomology class on a Kaehler manifold with boundary is studied. C^{1,α} estimates away from a divisor are obtained, by combining techniques of Blocki, Tsuji, Yau, and pluripotential theory. In particular, C^{1,α} geodesic rays in the space of Kaehler potentials are constructed for each test configuration

研究の動機と目的

• 退化したコhomology類を持つ場合の、Kählerポテンシャル空間内での測地線の正則性問題を扱う。
• 以前の結果を、非退化かつ正定値でない場合にまで拡張する。
• 複素ポテンシャル理論と事前推定を用いて、特にテスト配置の文脈において $C^{1,\beta}$ 測地線の放射を構成する。
• コhomology類が非負であるが厳密に正でない場合でも、解が除法式の外では正則のままであることを証明する。

提案手法

• Blocki, Tsuji, Yau および複素ポテンシャル理論の技術を組み合わせ、退化Monge-Ampère方程式に対する $C^{1,\beta}$ 推定を導出する。
• 重要な条件を課す：$\nabla_0 - \beta[E] > 0$ となる $\beta > 0$ が存在する。ここで $E$ は境界と交わらない効果的除法式である。
• テスト配置のコンパクト化全空間 $\tilde{\frak X}_D$ 上に、アーマンラインバンドルの計量を用いて非退化形式 $\tilde{\nabla}$ を構成する。
• 条件 $\nabla_0 - \beta[E]$ がKählerである場合に、$\tilde{\frak X}_D$ 上のDirichlet問題に対して定理2（事前推定）を適用し、境界データがゼロである場合を想定する。
• 回転対称計量と曲率構成を用いて、必要な正性条件を満たす厳密に正の形式 $\nabla_\beta$ の存在を保証する。
• Donaldson埋め込み定理と有理型切断を用いて、中央ファイバー上に除法式 $E$ を定義し、$\nabla_0 - \beta[E]$ がKähler類となるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomology類が非負である場合に、境界を伴うKähler多様体上での退化複素Monge-Ampère方程式の解に対して $C^{1,\beta}$ 正則性を確立できるか？
• RQ2 特にテスト配置において、Kählerポテンシャル空間内での測地線の存在が、退化コhomologyクラスにおいても保たれるか？
• RQ3 事前推定法と複素ポテンシャル理論の手法を、$\nabla_0$ が僅かに正定値である場合にまで拡張可能か？
• RQ4 $\nabla_0 - \beta[E]$ がKählerとなるような効果的除法式 $E$ に対して、Kähler形式 $\nabla_\beta$ を構成可能か？
• RQ5 初期データが $w=0$ で完全に指定されていない場合に、測地線方程式を一般化された意味でどのように解けるか？

主な発見

• 本稿は、除法式 $E$ の外では、退化複素Monge-Ampère方程式の解に対して $C^{1,\beta}$ 正則性推定を確立する。
• コンパクト化全空間 $\tilde{\frak X}_D$ 上に、ある $\beta > 0$ に対して $\tilde{\nabla}_0 - \beta[E]$ がKähler形式であるような解 $\tilde{\nabla}$ が構成される。
• 各テスト配置に対して、$C^{1,\beta}$ 型の測地線の放射が存在することが証明され、以前の結果が退化ケースにまで拡張される。
• 構成は、$p^*{\frak L}^m$ 上の計量 $H_0$ に依存し、その曲率 $\tilde{\nabla}_0 \neq 0$ であり、回転対称的かつファイバー上で正である。
• 主な技術的ステップは、$\text{sec}$ が $O(E)$ の標準的切断であるとき、$\tilde{\nabla}_0 - \beta[E] = \nabla_\beta - \beta \frac{i}{2} \bar{\nabla} \text{log} \norm{\text{sec}}^2$ を満たす計量 $H$ の構成である。
• 結果として、退化コhomology条件の下で、Kählerポテンシャル空間内に一般化された測地線の放射が存在することを確認し、Donaldsonの安定性予想を支持する。