[論文レビュー] The Dirichlet Problem of Fully Nonlinear Equations on Hermitian Manifolds

Ke Feng, Huabin Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 65被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、滑らかな境界を持つコンパクトなヘルミート多様体上における完全非線形楕円型方程式に対して、許容可能な副解と勾配の有界性を含む条件下で、事前に $C^2$ 估计を確立する。勾配推定と Evans-Krylov 理論を用いて、コンパクトなヘルミート多様体上におけるヘシアン商および $(m-1,m-1)$-ヘシアン商方程式のディリクレ問題の可解性を証明し、複素かつ非ケーラーな設定へと結果を拡張する。

ABSTRACT

We study the Dirichlet problem of a class of fully nonlinear elliptic equations on Hermitian manifolds and derive a priori $C^2$ estimates which depend on the initial data on manifolds, the admissible subsolutions and the upper bound of the gradients of the solutions. In some special cases, we obtain the gradient estimates, and hence we can solve the corresponding Dirichlet problem with admissible subsolutions. We also study the Hessian quotient equations and $(m-1,m-1)$-Hessian quotient equations on compact Hermitian manifolds without boundary.

研究の動機と目的

• 滑らかな境界を持つコンパクトなヘルミート多様体上における完全非線形楕円型方程式の事前 $C^2$ 估计を確立すること。
• 許容可能な副解と有界な勾配を含む条件下で、ディリクレ問題の可解性を証明すること。
• ヘシアン商および $(m-1,m-1)$-ヘシアン商方程式に関する結果を、ケーラーでないヘルミート多様体へと拡張すること。
• ヘシアン構造の変換を用いて、複素かつ非ケーラーな設定における2階推定の課題を克服すること。

提案手法

• 方程式を $\tilde{f}(T(\lambda))$ の形に再定式化するために、$\mu_i = \frac{1}{m-1}\sum_{k \neq i} \lambda_k$ により $T: \lambda \mapsto \mu$ の変換を導入する。
• 複素ヘシアン項を制御し、2階推定を可能にするために、$W(\mathrm{d}u)$ に構造的条件を課す。
• $C^2$ 界の確立後に Evans-Krylov 理論を適用し、$C^{2,\alpha}$ 估计を導出する。
• 爆発解析とコンパクト性の議論を用いて、非定数リプシッツ解の存在を排除し、矛盾を導き、$C^2$ 估计を確認する。
• $C^{2,\alpha}$ に対する制御を得た後、Schauder 估计を用いてすべての $k \geq 0$ に対して一様な $C^k$ 界を得る。
• 対称錐 $\Gamma$ および $\tilde{\Gamma}$ 上での $f$ および $\tilde{f}$ の凹性、1次微分の正の性質、漸近的挙動に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー条件を仮定せずに、ヘルミート多様体上における完全非線形楕円型方程式に対して $C^2$ 估计を確立できるか？
• RQ2 関数 $f$、$\chi$、$W(\mathrm{d}u)$ にどのような条件下で、許容可能な副解を伴うディリクレ問題が解けるか？
• RQ3 ヘシアン商および $(m-1,m-1)$-ヘシアン商方程式は、境界のないコンパクトなヘルミート多様体上に解を持つだろうか？
• RQ4 標準的な実数的技法が失敗する複素かつ非ケーラーな設定において、勾配推定を導出できるか？
• RQ5 変換 $T(\lambda)_i = \frac{1}{m-1}\sum_{k \neq i} \lambda_k$ は、推定を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 曲率に依存しない、初期データ、許容可能な副解、勾配の有界性に関する仮定の下で、事前 $C^2$ 估计が得られた。
• 特殊な場合において勾配推定が得られ、許容可能な副解を伴うディリクル問題の可解性が保証された。
• $C^2$ 界の確立後に Evans-Krylov 理論を適用することで、$C^{2,\alpha}$ 估计が導かれた。
• $C^{2,\alpha}$ 制御を得た後、Schauder 理論を用いてすべての $k \geq 0$ に対して一様な $C^k$ 估计が導かれた。
• 境界のないコンパクトなヘルミート多様体上におけるヘシアン商および $(m-1,m-1)$-ヘシアン商方程式のディリクル問題が解かれた。
• 非定数リプシッツ解の存在から矛盾が導かれ、$C^2$ 估计の必要性が確認され、証明が完了した。