[論文レビュー] The dynamics of the NLS with the combined terms in five and higher dimensions

Changxing Miao, Guixiang Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 35被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、5次元以上における結合臨界・下臨界非線形項を有する非線形シュレーディンガー方程式に対して、散乱と爆発の二分法を確立する。臨界要素の正則性を $L^\infty \dot{H}^{-\epsilon}_x$ まで低下させるために、精緻な二重デュハメル法を導入することで、エネルギーが閾値未満の解は、初期バーリングが非負の場合両時間方向に散乱するか、初期バーリングが負で径向的または有限分散を有する場合、有限時間で爆発する。

ABSTRACT

In this paper, we continue the study in \cite{MiaoWZ:NLS:3d Combined} to show the scattering and blow-up result of the solution for the nonlinear Schrödinger equation with the energy below the threshold $m$ in the energy space $H^1(\R^d)$, iu_t + Δu = -|u|^{4/(d-2)}u + |u|^{4/(d-1)}u, \; d\geq 5. ag{CNLS} The threshold is given by the ground state $W$ for the energy-critical NLS: $iu_t + Δu = -|u|^{4/(d-2)}u$. Compared with the argument in \cite{MiaoWZ:NLS:3d Combined}, the new ingredient is that we use the double duhamel formula in \cite{Kiv:Clay Lecture, TaoVZ:NLS:mass compact} to lower the regularity of the critical element in $L^{\infty}_tH^1_x$ to $L^{\infty}\dot H^{-ε}_x$ for some $ε>0$ in five and higher dimensions and obtain the compactness of the critical element in $L^2_x$, which is used to control the spatial center function $x(t)$ of the critical element and furthermore used to defeat the critical element in the reductive argument.

研究の動機と目的

• d≥5次元におけるエネルギー臨界NLSに結合非線形項を導入した場合の散乱と爆発の二分法を解明すること。これは先行研究で未解決のまま残されていた。
• 3次元における径向的散乱結果を、より高次元へ拡張するため、精緻な正則性技術を用いること。
• 結合非線形項設定下で古典的相互作用モラウェーツ推定が失敗する問題を克服するため、新たな正則性低減法を導入すること。
• 改善された正則性制御を用いて $L^2_x$ 上での臨界要素のコンパクト性を確立し、空間的中心関数 $x(t)$ の制御を可能にすること。
• 古典的相互作用モラウェーツ推定が利用できない状況下でも、切断されたバーリング恒等式を用いてソリトン型解の存在を除外することで、剛性議論を完成させること。

提案手法

• 文献[31, 51]の二重デュハメル公式を用い、臨界要素の正則性を $L^\infty_t H^1_x$ から $L^\infty_t \dot{H}^{-\epsilon}_x$（$\epsilon>0$）まで低下させる。
• 修正エネルギー $E^c(u)$ を用いて、$\dot{H}^1$-臨界項を力学的支配要因として分離する。
• 濃縮・コンパクト性と剛性法を適用し、臨界要素を $E(u_0) < m$ を満たす最小爆発解として定義する。
• 滑らかなカットオフ関数 $\phi_R(x) = R^2 \phi(|x|^2/R^2)$ を用いた切断バーリング恒等式を導入し、臨界要素の空間的中心関数 $x(t)$ を制御する。
• バーリング関数 $K(u)$ を用いて、Virial $V_R(t)$ の2階時間微分の下界を確立し、$t$ が大きい場合に $\partial_t^2 V_R(t) \gtrsim E(u_0)$ が成り立つことを示す。
• $T_1 \lesssim C(\eta) + \eta T_1$ を示すことにより矛盾を導出し、$u \equiv 0$ が得られるが、これは臨界要素の無限大ストリコフノルム $\|u\|_{ST(\mathbb{R})} = \infty$ に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d ≥ 5次元において、$|u|^{4/(d-2)}u$ と $|u|^{4/(d-1)}u$ の結合非線形項を有するNLSの解は、エネルギーが閾値未満の場合、散乱するか爆発するか？
• RQ2 低正則性下でも、濃縮・コンパクト性議論における臨界要素が $L^2_x$ 上でコンパクトであることが示せるか？
• RQ3 新たな正則性仮定下で、臨界要素の空間的中心関数 $x(t)$ は制御可能か？
• RQ4 古典的相互作用モラウェーツ推定が利用できない状況下でも、切断バーリング恒等式を用いてソリトン型解の存在を除外できるか？
• RQ5 二重デュハメル法は、高次元において臨界要素の正則性を $L^\infty \dot{H}^{-\epsilon}_x$ まで低下させることに成功したか？

主な発見

• d ≥ 5 において、結合非線形項とエネルギーが閾値 $m$ 未満の解は、両時間方向に散乱するか、有限時間で爆発する。
• もし $K(u_0) \geq 0$ ならば、解は全時間にわたり存在し、$t \to \pm\infty$ で $H^1$ 上で散乱する。
• もし $K(u_0) < 0$ かつ $xu_0 \in L^2$ または $u_0$ が径向的ならば、解は $H^1$ 上で前向きおよび後向きに有限時間で爆発する。
• 二重デュハメル公式に基づく精緻な正則性議論により、臨界要素が $L^2_x$ 上でコンパクトであることが示された。
• 臨界要素の空間的中心関数 $x(t)$ は、$t$ が大きい場合に $|x(t)| \leq \eta t$ を満たし、バーリング恒等式の制御に用いられる。
• 切断バーリング恒等式から矛盾が導かれる：$T_1 \lesssim C(\eta) + \eta T_1$ は、$T_1$ が十分に大きい場合には成立しない。これは $u \equiv 0$ を意味するが、これは $\|u\|_{ST(\mathbb{R})} = \infty$ に反する。