[論文レビュー] The Einstein equation and the energy density of the gravitational field

Maurice J. Dupré|ArXiv.org|Mar 11, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、光圧の考察に基づき、重力場のエネルギー密度を対称2階テンソルとして定義することで、アインシュタイン方程式の相対論的導出を提案する。このテンソルをストレssエネルギーテンソルに加えると、重力の全源としての総エネルギー運動量テンソルが形成され、その発散がゼロとなることが直接示され、アインシュタイン方程式が導かれる。

ABSTRACT

We give a derivation of the Einstein equation for gravity which employs a definition of the local energy density of the gravitational field as a symmetric second rank tensor whose value for each observer gives the trace of the spatial part of the energy-stress tensor as seen by that observer. We give a physical motivation for this choice using light pressure.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における重力場の局所的でテンソル的なエネルギー密度を定義する長年の問題を解決すること。
• アインシュタインの元々の物理的直観に整合する、重力のエネルギーを動的な源として扱う物理的に妥当なアインシュタイン方程式の導出を提供すること。
• 物質と重力の両方を含む総エネルギー運動量テンソルの発散がゼロであることが、導出の結果として生じることを示すこと。
• すべての観測者に対して有効な、局所的な重力場のエネルギー密度としての対称2階テンソルを確立すること。
• 抽象的な数学的原理ではなく、特に光圧の物理的挙動に基づいて、この定義を正当化すること。

提案手法

• 重力エネルギー密度を、空間成分のトレースが各観測者によって観測されるエネルギー密度を与える対称2階テンソルとして定義する。
• 重力場の摂動とエネルギー運動量を関連付ける基準として、光圧の物理的原理を用い、相対論的整合性を保証する。
• 対称テンソル観測者原理を適用：テンソル場は時間的単位ベクトル上の値によって完全に決定され、全テンソル評価の必要を減らす。
• リッチテンソルが物質と重力両方の寄与を含む全エネルギー密度に比例すると仮定することで、アインシュタイン方程式を導出する。
• リーマン曲率作用素、リッチテンソル、測地線のずれを含む微分幾何学的手法を用い、重力場のエネルギー源への応答を形式化する。
• 光円錐上での二次形式の解析的接続を用いて、光円錐上で消える対称テンソルが恒等的にゼロでなければならないことを証明し、観測者に基づくテンソル再構成を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論において、擬テンソルに依存せずに、重力場の局所的でテンソル的なエネルギー密度を一貫して定義できるか？
• RQ2 アインシュタインの元々の物理的直観に整合する形で、重力のエネルギーをアインシュタイン方程式に組み込む方法は何か？
• RQ3 数学的便宜を超えて、重力エネルギー密度テンソルの形を正当化する物理的原理は何か？
• RQ4 全エネルギー運動量テンソルの発散がゼロであるという要請が、物理的導出から生じるのか、それとも事前仮定として導入されるのか？
• RQ5 対称テンソル観測者原理を用いて、テンソル場を時間的ベクトル上の値から完全に再構成できるか？ そして、重力にどのように適用できるか？

主な発見

• 本稿では、重力場の局所的エネルギー密度として対称2階テンソルを明示的に定義し、ローレンツ変換に対して正しく変換されることを示した。
• このテンソルは、光圧の物理的考察に基づいて導出されており、擬テンソルや非局所的構成に依存せず、相対論的根拠を持つ。
• 物質と重力の両方を含む全エネルギー運動量テンソルの発散がゼロであることは、物理的モデルから導かれる結果であり、事前仮定ではない。
• リッチテンソルと全エネルギー密度（物質と重力の寄与を含む）の比例関係から、アインシュタイン方程式が自然に導かれる。
• 対称テンソル観測者原理が正当化された：対称テンソルは、時間的単位ベクトル上の値によって完全に決定され、物理的解釈が簡素化される。
• 導出により、光円錐の開集合上（例えば未来の光円錐上）で消える任意の対称テンソルは恒等的にゼロでなければならないことが示され、観測者データからのテンソル再構成の一意性が裏付けられる。