[論文レビュー] The Equivariant Tamagawa Number Conjecture for modular motives with coefficients in the Hecke algebra

Olivier Fouquet|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ガロアコホモロジー複体が完全でないと知られていなかった文献の空白を埋め、ヘケ代数を係数にもつモジュラー動機に対する等変タマガワ数の予想（ETNC）を定式化する。幾何的点における基本ラインの整合性（重み・モノドロミー予想を満たすものとして）とレベル低下・上昇との整合性を確立し、モジュラー形式およびヒダ理論の文脈において、オイラー系およびテイラー＝ワイルズ系を用いてETNCの大部分を証明する。

ABSTRACT

We propose a formulation of the Equivariant Tamagawa Number Conjecture for modular motives with coefficients in universal deformation rings and Hecke algebras; something which seems to have been heretofore missing because the complexes of Galois cohomology required were not known to be perfect. We show that the fundamental line of this conjecture satisfies the expected compatibility property at geometric points (more precisely at the points satisfying the Weight-Monodromy conjecture) and is compatible with level-lowering and level-raising. Combining these properties with the methods of Euler and Taylor-Wiles systems, we prove a significant part of the ETNC with coefficients in Hecke algebras for motives attached to modular forms and the full conjecture when the main conjecture of Iwasawa theory for modular forms is known to be true.

研究の動機と目的

• ガロアコホモロジー複体の完全性が保証されていなかったため、従来の文脈に欠けていた、普遍変形環およびヘケ代数を係数にもつモジュラー動機に対する等変タマガワ数の予想（ETNC）を定式化すること。
• 重み・モノドロミー予想を満たす幾何的点において、ETNCの基本ラインが期待される整合性を満たすことを確立すること。
• モジュラー形式の文脈において、レベル低下およびレベル上昇の操作とETNCが整合することを示すこと。
• 特にモジュラー形式およびヒダ理論の文脈で、オイラー系およびテイラー＝ワイルズ系を用いて、ヘケ代数係数をもつETNCの重要な部分を証明すること。
• 標準的な予想的仮定の下で、ヘケ代数上のETNCを古典的Iwasawa理論のモジュラー形式への還元すること（特に重みk > 2の場合）。

提案手法

• 普遍ヘケ代数T^newおよびその還元商T^redを係数にもつモジュラー動機に対するETNCを定式化し、古典的予想を非有理係数へ拡張する。
• ネコヴァール＝セレール複体およびエタールコホモロジーに行列式関手を適用し、モチーフ的文脈における基本ラインとゼータ要素を定義する。
• モジュラー曲線のコホモロジーにおける整数格子を用い、モジュラー動機における重み・モノドロミー予想の検証を通じて、幾何的点における整合性を保証する。
• Iwasawa代数Λを係数にもつオイラー系を用い、テイラー＝ワイルズ系による精密化された基本ラインを構成することで、特殊値を制御する。
• 基本ラインをモジュラー形式のIwasawa主予想に関連させることで、ヘケ代数上のETNCを古典的Iwasawa理論に還元する。
• カトウ、オオイア、スージャ＝ユーグラの結果を活用し、標準的仮定（例えば、既約性、変形条件）の下でIwasawa理論における主予想を検証することで、ETNCの主要ケースを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロアコホモロジー複体の完全性が保証されていないにもかかわらず、ヘケ代数係数をもつモジュラー動機に対する等変タマガワ数の予想（ETNC）を一貫して定式化できるか？
• RQ2 ヘケ代数係数をもつETNCの基本ラインは、重み・モノドロミー予想を満たす幾何的点において、期待される整合性を満たすか？
• RQ3 モジュラー形式およびそれらに付随するガロア表現の文脈において、ETNCはレベル低下およびレベル上昇操作と整合するか？
• RQ4 ヘケ代数係数をもつETNCは、重みk > 2のモジュラー形式の古典的Iwasawa理論に還元可能か？
• RQ5 普遍変形環RΣ,Iwまたはそのヒダ理論的変種RΣ,Hi,Iwを係数にもつモジュラー形式のETNCは、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 本稿は、ヘケ代数T^newを係数にもつモジュラー動機に対するETNCの基本ラインが、重み・モノドロミー予想を満たす幾何的点において、期待される整合性を満たすことを確立した。
• ETNCがレベル低下およびレベル上昇操作と整合することを示し、予想の適用範囲をより広いクラスのモジュラー形式へ拡張した。
• 特に、残余ガロア表現が標準的条件（例えば、既約性、分岐制約）を満たすと仮定すると、オイラー系およびテイラー＝ワイルズ系を用いて、ヘケ代数T^red係数をもつETNCの重要な部分が証明された。
• 古典的ETNCが成立する重みk > 2のモジュラー特異化が存在すると仮定すれば、RΣ,Iw上のETNCは証明され、問題が既知のIwasawa理論の結果に還元された。
• グリーンバーグおよびマズールが定式化したモジュラー形式のIwasawa理論における主予想が、主な入力として用いられ、その有効性（スージャ＝ユーグラによって確立）は、提示された仮定の下でRΣ,Hi,Iw上のETNCの真偽を示す。
• RΣ,Iw上のETNCと、1つのモジュラー特異化が古典的ETNCを満たすという事実との同値性が確立され、グローバルおよびローカルな定式化の間の橋渡しとなった。