[論文レビュー] The explicit Zelevinsky-Aubert duality

Hiraku Atobe, Alberto Mínguez|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$p$-進シンプレクティック群および奇数次特別直交群の既約滑らか表現のゼレヴィンスキー–オーベルト双対を決定する明示的かつ計算可能なアルゴリズムを提供する。導出およびセコールの明示的公式を確立し、エンデスコピック分類とラングランズデータを用いることで、元の表現のラングランズパラメータから双対表現をアルゴリズム的に計算可能にし、局所非アーベル体上の古典的群の表現論における重要な問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we give an explicit computable algorithm for the Zelevinsky-Aubert dual of irreducible representations of $p$-adic symplectic and odd special orthogonal groups. To do this, we establish explicit formulas for certain derivatives and socles. We also give a combinatorial criterion for the irreducibility of certain parabolically induced representations.

研究の動機と目的

• \mathrm{GL}_n(F) における Mœglin–Waldspurger アルゴリズムを古典的群、特にシンプレクティック群および奇数次特別直交群に拡張すること。
• 任意の既約滑らか表現のゼレヴィンスキー–オーベルト双対のラングランズデータを決定する完全に明示的かつ計算可能なアルゴリズムを提供すること。
• 正および非カスプ的の場合における $\rho$-導出およびセコールの明示的公式を確立し、アルゴリズム的計算を可能にすること。
• 古典的群の文脈において、誘導表現の非可約性に関する組合せ的基準を与えること。
• 双対性がユニタリティを保存することを確認し、特定のラングランズ商を含む双対性の不動点を同定すること。

提案手法

• 著者らは、$G_n = \mathrm{Sp}_{2n}(F)$ または $\mathrm{SO}_{2n+1}(F)$ の既約表現に対する $\rho$-導出を定義し、最大 $\rho$-導出 $D_\rho^{\max}(\pi)$ を用いて、$\pi$ をカスプ的データの観点から分解する。
• 特に正および非カスプ的の場合において、$S_Z^{(k)}$-関手を用いて誘導表現のセコールの明示的公式を導出する。
• 双対性とヤコブ関手の可換性に着目し、$D_\rho^{\max}(\hat{\pi}) = D_{\rho^\vee}^{\max}(\hat{\pi})$ を保証することで、双対が対応する対偶の双対と結びつくようにする。
• アーティクルのエンデスコピック分類と Mœglin の局所 $L$-パケッジの構成を用い、表現をラングランズデータによってパラメトライズする。
• 既知の非可約性に関する結果と誘導表現の構造を用い、導出およびセコールを再帰的に計算するアルゴリズムを構築する。
• 主な技術的道具は、Aubertの対合 $D_G(\Pi)$ の構成と、ラングランズ商への $S_Z^{(k)}$-関手の明示的計算である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-進シンプレクティック群および奇数次特別直交群の既約表現に対して、ゼレヴィンスキー–オーベルト双対をどのように明示的に計算できるか。
• RQ2 正および非カスプ的場合における誘導表現の $\rho$-導出およびセコールの明示的公式は何か。
• RQ3 古典的群の文脈において、誘導表現の非可約性に関する組合せ的基準を与えることができるか。
• RQ4 どの表現がゼレヴィンスキー–オーベルト双対性のもとで不動点となるか。そのような不動点はどのように特徴づけられるか。
• RQ5 双対性はエンデスコピック分類およびラングランズパラメータとどのように作用するか。古典的群の文脈において。

主な発見

• 本稿は、$\mathrm{Sp}_{2n}(F)$ および $\mathrm{SO}_{2n+1}(F)$ の既約表現に対して、$\pi$ のラングランズデータから $\hat{\pi}$ のラングランズデータを計算する明示的アルゴリズムを提供する。
• $\pi = L(\Delta[0,-2], \Delta[0,-1]; \pi(3^+))$ の場合、双対性が $\hat{\pi} = \pi$ を満たすことが確認され、この表現が双対性のもとで不動点であることが示される。
• $\pi(1^+,1^+,3^+,5^-,5^-)$ の双対は $L(\Delta[-1,-2], |\cdot|^{-2}, |\cdot|^{-1}; \pi(1^-,1^-,1^-,1^-,3^+))$ として計算され、アルゴリズムの有効性が裏付けられる。
• $\pi(1^-,1^-,3^+,5^-,5^-)$ の双対は $L(\Delta[0,-2], |\cdot|^{-2}, |\cdot|^{-1}; \pi(1^-,1^-,3^+))$ であり、これら二つの和は $\mathbf{1}_{\mathrm{GL}_1(F)} \rtimes L(\Delta[-1,-2], |\cdot|^{-2}, |\cdot|^{-1}; \pi(1^-,1^-,3^+))$ に同型である。
• 本稿は、$L(\Delta[0,-2]; \pi(1^-,1^-,3^+))$ が双対性のもとで不動点であることを証明しており、これは先行研究からは従わない結果である。
• アルゴリズムは完全に計算可能であり、$S_Z^{(k)}$-セコールおよび $\rho$-導出の明示的公式に依拠しており、古典的群の文脈における双対の体系的計算を可能にする。