[論文レビュー] The extension problem of the mean curvature flow (I)

Haozhao Li, Bing Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ℝ³における任意の閉、滑らかで埋め込まれた平均曲率流れについて、最初の有限特異時刻において平均曲率が発散することを証明し、長年の予想を解決した。リスケーリングと弱コンパクトネスの技法を用いて、リスケーリングされた流れが平面に多重度1で収束することを確立し、放物型ハーナックと安定性推定を用いて、高重複度の極限が矛盾することを示した。

ABSTRACT

We show that the mean curvature blows up at the first finite singular time for a closed smooth embedded mean curvature flow in R^3.

研究の動機と目的

• 3次元平均曲率流れにおける最初の有限特異時刻に平均曲率が発散するという予想を解決すること。
• 初期超曲面の凸性を仮定せずに、平均曲率流れの拡張問題を確立すること。
• 有界曲率のもとで、リスケーリングされた平均曲率流れが平面に多重度1で収束することを証明すること。
• 非グラフ的流れに対する、両側的で長期的な擬局所定理を構築すること。
• 放物型ハーナックと安定性の議論を用いて、高重複度の極限が矛盾することを示すこと。

提案手法

• 特異時刻を無限大に変換するため、平均曲率流れをリスケーリングし、曲率の発散を0への減衰に変換する。
• 有界平均曲率と面積倍加条件のもとで、局所的グラフ条件を必要としない、両側的で長期的な擬局所定理を確立する。
• 擬局所定理を用いてエネルギー集中性を証明し、曲率の集中を制御する。
• 弱コンパクトネスを適用して、最小かつ自己収縮する極限流れを抽出し、したがって平面であることを得る。
• 極限面のコンact部分集合上で放物型方程式の正の解に対する一様推定を用いる。
• 特異集合を横切る極限平面のL²安定性を活用し、多重度が1より大きい場合を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ³における閉埋め込み平均曲率流れについて、最初の有限特異時刻に平均曲率は必ず発散するか？
• RQ2 初期超曲面の凸性を仮定せずに、平均曲率流れの拡張問題を解くことができるか？
• RQ3 リスケーリングされた平均曲率流れの極限は、必ず多重度1の平面か？
• RQ4 有界曲率で非グラフ的流れに対して、両側的擬局所定理を確立できるか？
• RQ5 多重度>1の極限面上で放物型方程式の正の解が存在することは、排除できるか？

主な発見

• ℝ³における任意の閉、滑らかで埋め込まれた平均曲率流れについて、最初の有限特異時刻T < ∞ において平均曲率が発散する。
• 曲率が有界であるという仮定のもとで、リスケーリングされた平均曲率流れは弱収束して平面に多重度1で収束する。
• 有界Hと面積倍加条件のもとで、局所的グラフ条件を必要としない、両側的で長期的な擬局所定理が確立された。
• 擬局所定理を用いてエネルギー集中が証明され、流れ列の弱コンパクトネスが可能になった。
• 多重度>1の極限面上で放物型方程式の正の解が存在すると仮定すると、放物型ハーナックと安定性推定を用いて矛盾が生じる。
• 極限面がL²安定であることが示され、高重複度の極限を除外でき、多重度1収束が確認された。