[論文レビュー] The Free Fermion Anomaly and Representations of the Pin Groups

Yakov Landau|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Topological Materials and Phenomena参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、半整数フラックスを伴う輪の上での自由複素フェルミオンとボソンの間に双対性を確立し、両者とも Pin±(2) 群に結びついた離散的アノマリーを示している。主な貢献は、時間反転と電荷共役の間の交換関係 TCT = ±C を用いて、Pin₊(2n) と Pin₋(2n) の既約表現を区別する新規な手法を提供することであり、これにより C² = ±1 と関連し、アノマリーの種別が決定される。

ABSTRACT

We consider a duality between a boson on a ring and a free fermion and show that they have an anomaly which corresponds to the states transforming under double covers of O(2). There are two (in general not isometric) double covers of O(2), known as Pin$_+(2)$ and Pin$_-(2)$. These can in general be distinguished at the group level by checking whether reflections square to $\pm 1$. We show that in irreducible representations in complex Hilbert spaces the commutation of time reversal and charge conjugation gives another method for distinguishing Pin$_+(2)$ and Pin$_-(2)$. While we only demonstrate the duality for a single fermion, the anomaly is also present in any number of free fermions. For an even number of fermions we show that the two double covers of O(2n) are isomorphic. For an odd number of fermions we show that the distinction between irreducible representations of Pin$_+$ and Pin$_-$ can still be detected by the commutation of time reversal and charge conjugation namely Pin$_\pm(2n)$ will have $TCT = \pm C$.

研究の動機と目的

• 自由フェルミオンのアノマリーの文脈において、Pin₊(2) と Pin₋(2) 構造を区別するあいまいさを解消すること。
• 特にフェルミオン数が奇数および偶数の場合に、複数の自由フェルミオン系へのアノマリー分類を拡張すること。
• 時間反転と電荷共役対称性を用いて、Pin₊(2n) と Pin₋(2n) の既約表現を区別する手法を確立すること。
• フェルミオン的およびボソン的実現の双対性において、同一の離散的アノマリーが現れることを確認すること。

提案手法

• 半整数磁束を伴う輪上の自由複素フェルミオンとボソンの間の双対性を構築し、同一の基底状態と対称性を示す。
• O(2) の2重被覆として、C² = 1 または C² = -1 に従う Pin₊(2) と Pin₋(2) を定義する。
• 時間反転 T と電荷共役 C の間の交換関係 TCT = ±C を用いて、Pin₊(2n) と Pin₋(2n) の既約表現を区別する。
• γ行列を用いて ℂ(2ⁿ) 内に明示的なクラッカー代数表現を構築し、T = θσ_y⊗⋯⊗σ_y と定義し、T² = (-1)ⁿ を得る。
• 特定のインデックスにおける γ 行列の積 M および P を用いて、反線形作用素 J₊ = TM および J₋ = TP を導入し、表現が実またはクaternion的であるかを特定する。
• J₊ が Pin₊(2n) のみで等変であり、J₋ が Pin₋(2n) のみで等変であることを示し、J² を計算して n mod 4 に基づく実／クaternion的構造を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群レベルの関係を超えて、Pin₊(2) と Pin₋(2) 構造をどのように区別できるか？
• RQ2 時間反転と電荷共役が、Pin₊(2n) と Pin₋(2n) の既約表現を区別する上で果たす役割は何か？
• RQ3 複数の自由フェルミオン系において、TCT = ±C を用いたアノマリーの検出は可能か？フェルミオン数に依存するか？
• RQ4 同じ離散的アノマリーが、フェルミオン的およびボソン的双対理論の両方で一貫して実現可能か？
• RQ5 表現の実またはクaternion的構造は、Pin±(2n) のアノマリーの種別とどのように関係するか？

主な発見

• 自由フェルミオンと輪上のボソン系におけるアノマリーは、C² = 1 または C² = -1 に従う Pin₊(2) または Pin₋(2) 構造によって分類される。
• n が奇数の場合、Pin₊(2n) と Pin₋(2n) の既約表現は、それぞれ TCT = C および TCT = -C の交換関係によって区別される。
• n ≡ 1 mod 4 のとき、Pin₊(2n) はクaternion的で、Pin₋(2n) は実である。n ≡ 3 mod 4 のとき、この役割は逆転し、J₊² および J₋² の結果に基づいて決定される。
• 自由フェルミオンと輪上のボソンの間の双対性はアノマリーを保存し、両理論が同一の離散的対称性アノマリーを持つことを確認する。
• 偶数個のフェルミオンでは、Pin₊(2n) と Pin₋(2n) は同型であるが、TCT = ±C を用いた表現論的区別が継続的に存在する。
• Pin±(2n) 表現を区別する TCT = ±C の手法は、特に既約複素表現において、群レベルの定義に代わる強固な代替手段を提供する。