[論文レビュー] The Generalized Metrical Multi-Time Lagrange Space of Relativistic Geometrical Optics

Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多次元時間設定における相対論的微分幾何光学のための幾何的枠組みとして、一般化された計量的多時刻ラグランジュ空間 $RGOGML^{n}_{p}$ を導入する。1-jet束に複数の時間座標を持つようにシンゲの相対論的光学計量を拡張することで、カルタンの標準接続とd-テンソル形式を用いて重力場および電磁場のアインシュタイン方程式とマクスウェル方程式を導出し、一貫性のある保存則と場の方程式を持つ統一的場理論的モデルを構築する。

ABSTRACT

The paper constructs a generalized metrical multi-time Lagrange space, which allows a natural development of relativistic geometrical optics theories, in a general setting.

研究の動機と目的

• 1-jet束を用いた多次元時間枠組みにおける相対論的微分幾何光学のための幾何的モデルの構築。
• $p$ 個の時間座標を持つ一般化された計量的多時刻ラグランジュ空間へのシンゲの相対論的光学計量の拡張。
• この一般化された多時刻幾何における重力ポテンシャルのアインシュタイン方程式の導出。
• 電磁場のd-テンソルの導入と、$RGOGML^{n}_{p}$ 空間上でのマクスウェル型方程式の導出。
• この多時刻場幾何の文脈におけるストレステンソルd-テンソルの保存則の確立。

提案手法

• 1-jet束 $J^1(T,M)$ 上に、Kronecker $h$-正則な垂直計量的d-テンソル $G^{(\beta)(\beta)}_{(i)(j)} = h^{eta\beta}g_{ij}$ を用いて、一般化された計量的多時刻ラグランジュ空間 $RGOGML^{n}_{p}$ を形式化する。
• $RGOGML^{n}_{p}$ 上のカルタンの標準接続 $C\Gamma$ を用いて、d-テンソル計算のための局所的共変微分 $|_{j}$, $|^{(\beta)}_{(j)}$, および $_{/\beta}$ を定義する。
• 接続係数 $\Lambda^{m}_{ij}$, $C^{\beta}_{mji}$, および $G^{p}_{i\beta}$ を用いて、d-曲率およびd-ねじれの成分を導出する。
• 基本d-テンソルと接続から、計量的偏光d-テンソル $\bar{D}^{(\alpha)}_{(i)\beta}$, $D^{(\alpha)}_{(i)j}$, および $d^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ を構成する。
• 反対称化された偏光成分を用いて、特徴的な電磁2形式 $F = F^{(\alpha)}_{(i)j}\delta x^i_\alpha \wedge dx^j + f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}\delta x^i_\alpha \wedge \delta x^j_\beta$ を定義する。
• d-接続形式を用いて、電磁成分 $F^{(\alpha)}_{(i)j}$ および $f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ に場の方程式を課すことにより、$RGOGML^{n}_{p}$ 上のマクスウェル方程式の完全系を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンゲの相対論的微分幾何光学計量は、1-jet束を用いてどのように多次元時間設定に一般化できるか？
• RQ2 一般化された計量的多時刻ラグランジュ空間 $RGOGML^{n}_{p}$ における重力ポテンシャルのアインシュタイン方程式は何か？
• RQ3 この多時刻幾何的枠組みにおいて、ストレステンソルd-テンソルとその保存則はどのように定式化されるか？
• RQ4 $RGOGML^{n}_{p}$ における電磁場の構造は何か、またマクスウェル方程式はd-接続形式論からどのように導かれるか？
• RQ5 この幾何における電磁成分 $F^{(\alpha)}_{(i)j}$ および $f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ は、共変微分の下でどのように変換され、相互作用するか？

主な発見

• 電磁2形式は反対称化された計量的偏光d-テンソルにより定義される：$F^{(\alpha)}_{(i)j} = \frac{1}{2}(D^{(\alpha)}_{(i)j} - D^{(\alpha)}_{(j)i})$, $f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)} = \frac{1}{2}(d^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)} - d^{(\alpha)(\beta)}_{(j)(i)})$。
• 電磁成分の局所的表現は、$F^{(\alpha)}_{(i)j} = \left[\varphi_{ir}\Lambda^{r}_{mj} - \varphi_{jr}\Lambda^{r}_{mi} + A_i\Lambda^{0}_{mj} - A_j\Lambda^{0}_{mi}\right]h^{\alpha\mu}x^m_\mu$ および $f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)} = \frac{1}{2}(C^{\beta}_{mji} - C^{\beta}_{mij})h^{\alpha\mu}x^m_\mu$ である。
• $RGOGML^{n}_{p}$ 上のマクスウェル方程式は、$F^{(\alpha)}_{(i)j}$ および $f^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ の共変微分と曲率項を含む4本の式の系として導出される。これにはバイアンキ型の恒等式と源なし条件が含まれる。
• 多時刻設定におけるアインシュタイン型方程式の発散なし条件を通じて、ストレステンソルd-テンソルの保存則が確立される。
• d-曲率成分 $R^{(\alpha)}_{(i)\beta}$ および $R^{(\alpha)(\beta)}_{(i)(j)}$ は接続係数と計量成分で表され、相対論的場理論と整合的であることが保証される。
• 極限 $p=1$ において、この系は既知の相対論的光学に還元され、単一の時間座標に制限した場合にシンゲの元来の定式化と整合的であることが確認される。