[論文レビュー] Torsions and Curvatures on Jet Fibre Bundle J^1(T,M)

Mircea Neagu, Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次ジェットバンドル $J^1(T,M)$ の微分幾何学を、$̳$-線形接続を導入し、d- torsion および d-曲率テンソルの局所的表現を導出し、リッチおよびビアンキ恒等式を用いてそれらの間の依存関係を確立することで展開する。さらに、適応基底と非線形接続を用いて、オルバーのアプローチを一般化した、$T \times M$ から $J^1(T,M)$ へのベクトル場の幾何的ジェット揚上げを導入する。

ABSTRACT

The paper introduces the notion of Γ-linear connection abla on the 1-jet fibre bundle J^1(T,M), and presents its local components. We also describe the local Ricci and Bianchi identities of $ abla$.

研究の動機と目的

• 1次ジェットバンドル $J^1(T,M)$ 上の $̳$-線形接続の包括的枠組みを確立し、古典的接続をジェット空間へ一般化すること。
• $̳$-線形接続に関連する d-ねじれテンソルおよび d-曲率テンソルの明示的局所成分を導出すること。
• リッチおよびビアンキ恒等式を通じて、ねじれテンソルと曲率テンソルの非独立性を調査すること。
• 適応基底と $̳$-線形接続を用いて、$T \times M$ から $J^1(T,M)$ へのベクトル場の幾何的ジェット揚上げを定式化すること。
• 将来の研究の基盤を築くために、テンソルおよび接続を $T \times M$ から $J^1(T,M)$ に揚上げる一般問題を提起すること。

提案手法

• 1次ジェットバンドル $J^1(T,M)$ 上に、適応基底 $\left\{ \frac{\delta}{\delta t^\alpha}, \frac{\delta}{\delta x^i}, \frac{\partial}{\partial x^i_\alpha} \right\}$ と双対コフレーム $\{dt^\alpha, dx^i, \delta x^i_\alpha\}$ を導入し、ベクトル場およびコベクトル場を時間的・空間的水平成分と垂直成分に分解する。
• 9つの局所成分 $\bar{G}^\alpha_{\beta\gamma}, G^k_{i\gamma}, G^{(k)(\beta)}_{(\alpha)(i)\gamma}, \bar{L}^\alpha_{\beta j}, L^k_{ij}, L^{(k)(\beta)}_{(\alpha)(i)j}, \bar{C}^{\alpha(\gamma)}_{\beta(k)}, C^{j(\gamma)}_{i(k)}, C^{(k)(\beta)(\gamma)}_{(\alpha)(i)(k)}$ を用いて $̳$-線形接続 $\nabla$ を定義する。
• 適応基底への接続の作用を用いて、12個の成分を有する d-ねじれテンソルと、18個の成分を有する d-曲率テンソルを導出する。
• リッチおよびビアンキ恒等式を適用し、d-ねじれと d-曲率の成分が互いに独立でないことを示し、独立成分の数を削減する。
• 適応基底と $̳$-線形接続を用いて、ベクトル場の幾何的ジェット揚上げを次の式で定義する：$Y^{(i)}_{(\alpha)} = X^i_{/\alpha} + X^i_{|j}x^j_\alpha - X^\beta_{/\alpha}x^i_\beta - X^\beta_{|j}x^j_\alpha x^i_\beta + X^\mu(M^{(i)}_{(\alpha)\mu} + \bar{G}^\beta_{\mu\alpha}x^i_\beta + \bar{L}^\beta_{\mu j}x^j_\alpha x^i_\beta) - X^m(N^{(i)}_{(\alpha)m} + G^i_{m\alpha} + L^i_{mj}x^j_\alpha)$。
• 全微分を $D_\alpha f = \frac{\delta f}{\delta t^\alpha} + \frac{\delta f}{\delta x^i}x^i_\alpha$ として表現することで、幾何的揚上げとオルバーの古典的全微分アプローチを整合させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $̳$-線形接続を 1次ジェットバンドル $J^1(T,M)$ 上で局所的に表現でき、その成分の座標および適応基底の変換則は何か？
• RQ2 $̳$-線形接続に関連する d-ねじれテンソルおよび d-曲率テンソルの完全な局所的成分構造は何か？
• RQ3 リッチおよびビアンキ恒等式は、d-ねじれと d-曲率の成分をどのように制約し、それらの非独立性の度合いは何か？
• RQ4 古典的ジェット揚上げを、適応基底と $̳$-線形接続を用いて幾何的に再定式化できるか？
• RQ5 テンソル、1形式、$G$-構造を $T \times M$ から $J^1(T,M)$ に揚上げる一般枠組みは何か？ これはベクトル場の揚上げをどのように拡張するか？

主な発見

• $̳$-線形接続は、9つの局所成分によって完全に決定され、座標および適応基底の変更に対して共変的に変換される。
• d-ねじれテンソルは12個の独立成分を有し、接続が適応基底ベクトルに非対称に作用することに起因する。
• d-曲率テンソルは18個の独立成分を有し、適応フレーム内での共変微分の交換子に由来する。
• リッチおよびビアンキ恒等式により、d-ねじれと d-曲率のすべての成分が独立でないことが示され、自由パラメータの数が削減される。
• $T \times M$ 上のベクトル場 $X$ の幾何的ジェット揚上げは、$pr^{(1)}X = X^\alpha \frac{\delta}{\delta t^\alpha} + X^i \frac{\delta}{\delta x^i} + Y^{(i)}_{(\alpha)} \frac{\partial}{\partial x^i_\alpha}$ で与えられ、$Y^{(i)}_{(\alpha)}$ は接続成分および全微分を用いて表現される。
• 接続成分をゼロに設定すると、幾何的揚上げの式はオルバーの古典的結果に簡約され、従来のジェット理論と整合することが確認される。