[論文レビュー] The Geometer's Toolkit to String Compactifications

Susanne Reffert|ArXiv.org|Jun 9, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 22

ひとこと要約

本論文は、トーリック幾何を用いて、トーラス的オルビフォールドの特異点を解消し、交差環と除数トポロジーを計算することにより、ストリングコンパクト化のための幾何的ツールキットを提供する。この手法は、オルビフォールドの特異点を解消するためのトーリック幾何の体系的応用に焦点を当てており、滑らかなカーバイ–ヤウ多様体の構成を可能にする。さらに、オリエンタフォールド商への拡張が行われ、オリエンタフォールドインボリューション下での固定除数を考慮することで、修正された交差数が導出される。特に $T^6/\mathbb{Z}_6$-II に対して明示的な例が提示され、ホッジ数と三重交差形式の正確な数値結果が得られる。

ABSTRACT

These lecture notes are meant to serve as an introduction to some geometric constructions and techniques (in particular the ones of toric geometry) often employed by the physicist working on string theory compactifications. The emphasis is wholly on the geometry side, not on the physics. The treated topics include toroidal orbifolds, methods of toric geometry, desinglularization of toroidal orbifolds and their orientifold quotients.

研究の動機と目的

• 理論物理学と代数幾何学の間のギャップを埋めるために、高度な幾何的技法をストリング理論家が理解しやすい言語に翻訳すること。
• トーリック幾何を用いた体系的な手法により、トーラス的オルビフォールドの特異点を解消し、滑らかなカーバイ–ヤウ多様体を構成すること。
• 局所的パッチの貼り合わせとグローバル対称性データから、解消されたカーバイ–ヤウ多様体の交差環と除数トポロジーを導出すること。
• この構成をオリエンタフォールド商へ拡張し、オリエンタフォールドインボリューション下での固定除数を考慮した修正された交差数を計算すること。
• 特に $T^6/\mathbb{Z}_6$-II に対して明示的かつ教育的な例を提示し、オルビフォールドからオリエンタフォールド幾何への計算ワークフローの全容を示すこと。

提案手法

• 局所的パッチの構成とそれらの貼り合わせを通じて、トーリック幾何を用いてオルビフォールド特異点を解消し、グローバルに滑らかなカーバイ–ヤウ多様体を構成する。
• モリの錐と交差数形式を用いて、解消された多様体上の除数の三重交差数を計算する。
• オルビフォールド固定点から生じる特異除数の構造とその交差を分析することで、除数トポロジーを特定する。
• 解消されたカーバイ–ヤウ多様体にオリエンタフォールドインボリューションを適用し、固定除数と非固定除数を区別することで、修正された交差則を導出する。
• 非固定除数の交差数は半分にされ、1つの固定除数を含むものは変化せず、2つまたは3つの固定除数を含むものはそれぞれ2倍または4倍にされるというルールを適用する。
• 商写像 $\pi^*$ を用いて除数を引き戻し、固定除数の寄与を $1/2$ の係数で調整することで、オリエンタフォールドにおける体積を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてトーリック幾何を体系的に適用し、トーラス的オルビフォールドの特異点を解消し、滑らかなカーバイ–ヤウ多様体を構成できるか？
• RQ2 オルビフォールドデータから、解消されたカーバイ–ヤウ多様体の完全な交差環と除数トポロジーを正確に計算する方法は何か？
• RQ3 交差数は、特にインボリューション下で除数が固定されるかされないかにかかわらず、オリエンタフォールド商によってどのように変化するか？
• RQ4 物理的整合性を保つために、オリエンタフォールドコンパクト化における交差数を修正する正しい処方とは何か？
• RQ5 オリエンタフォールドのホッジ数 $h^{1,1}$ と $h^{2,1}$ は、元のカーバイ–ヤウ多様体とオルビフォールド構造とどのように関係しているか？

主な発見

• $T^6/\mathbb{Z}_6$-II オルビフォールドにおいて、解消されたカーバイ–ヤウ多様体は $h^{1,1} = 19$ および $h^{2,1} = 3$ を持ち、オイラー標数は $\chi = -28$ である。
• カーバイ–ヤウにおける三重交差数 $R_1 R_2 R_3 = 6$ は、非固定除数の寄与によりオリエンタフォールドでは $3$ に減少する。
• カーバイ–ヤウにおける三重交差 $E_{2,\beta}^3 = 8$ は、オリエンタフォールドでは $32$ に増加し、$E_{2,\beta}$ が三重に固定されていることによる $4$ 倍の寄与を反映している。
• カーバイ–ヤウにおける交差 $R_2 E_{3,\gamma}^2 = -2$ は、オリエンタフォールドでは $-1$ に減少し、1つの固定除数を含むため半分にされる。
• 三重交差 $E_{1,\beta\gamma}^3 = 6$ はオリエンタフォールドで $3$ に減少し、非固定除数の寄与に一致する半分の処理がなされている。
• 交差 $E_{1,\beta\gamma} E_{2,\beta}^2 = -2$ はオリエンタフォールドで $-4$ に増加し、2つの $E_{2,\beta}$ 要素（固定除数）を含むため、$2$ 倍の寄与が生じている。