[論文レビュー] The geometry of blueprints. Part I: Algebraic background and scheme theory

Oliver Lorscheid|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、可換半環とモノイドを統合するカテゴリカルな枠組み「ブループrinト」を導入し、古典的代数幾何と$\mathbb{F}_1$-幾何の間をつなぐ共通のスキーム理論を可能にする。ブループリン卜に基づく局所的に環的な空間としてのブルースキームを定義し、グローテンディークスキームと半環スキームを一般化する。また、右随伴関手を介して、ブループリン卜から環への普遍的なベース拡張を構成し、$\mathbb{F}_1$-スキームの多様な幾何的アプローチを統一する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the category of blueprints, which is a category of algebraic objects that include both commutative (semi)rings and commutative monoids. This generalization allows a simultaneous treatment of ideals resp.\ congruences for rings and monoids and leads to a common scheme theory. In particular, it bridges the gap between usual schemes and $\mathbb{F}_1$-schemes (after Kato, Deitmar and Connes-Consani). Beside this unification, the category of blueprints contains new interesting objects as "improved" cyclotomic field extensions $\mathbb{F}_{1^n}$ of $\mathbb{F}_1$ and "archimedean valuation rings". It also yields a notion of semiring schemes. This first paper lays the foundation for subsequent projects, which are devoted to the following problems: Tits' idea of Chevalley groups over $\mathbb{F}_1$, congruence schemes, sheaf cohomology, $K$-theory and a unified view on analytic geometry over $\mathbb{F}_1$, adic spaces (after Huber), analytic spaces (after Berkovich) and tropical geometry.

研究の動機と目的

• 環とモノイドを統合する単一の代数的枠組みに一般化することで、古典的スキーム理論と$\mathbb{F}_1$-幾何を統一すること。
• グローテンディークスキームと半環スキームを両方一般化するブループリン卜のスキーム理論を構築すること。
• $\mathbb{F}_1$-幾何に新たな対象（例えば、円分拡張やアーケメデス的付値環）を含めることが可能なカテゴリカルな基盤を提供すること。
• ブルースキームからグローテンディークスキームへの普遍的なベース拡張関手を確立し、ブルースキームと古典的代数幾何を結びつけること。
• ブルースキームと既存の$\mathbb{F}_1$-幾何的枠組み（コンネス＝コンサニスキームやトロピカル幾何）との関係を明確にすること。

提案手法

• ブループリン卜は、$R$ を半環とし、$A \subset R$ を0と1を含み、$R$ を半環として生成する乗法的部分モノイドとするペア$(A,R)$として定義される。
• ブループリン卜の準同型は、乗法的部分モノイド$A$を保存する半環準同型として定義される。
• 素イデアルと局所化は可換代数と同様に定義され、スペクトル$\operatorname{Spec}B$ を位相空間として、ブループリン卜の構造層を備えたものとして構成可能となる。
• ブルースキームは、$\operatorname{Spec}B$ に局所的に同型な局所的に環的な空間として定義され、ブループリン卜空間の局所準同型によってその準同型が定義される。
• 普遍的なベース拡張関手$(-)_{\mathbb{Z}}$ が構成され、任意のブループリン卜$B$ を環$B_{\mathbb{Z}}$ に写像する。この関手は、ブルースキームからグローテンディークスキームへの右随伴関手を誘導する。
• モノイド、半環、環はすべてフルな部分圏として埋め込まれ、既知の$\mathbb{F}_1$-スキーム（例：コンネス＝コンサニスキーム）はブルースキームの特別なケースとして回復される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環、半環、モノイドを一括して扱える代数的枠組みをどのように構築すれば、整合的なスキーム理論を可能にすることができるか？
• RQ2 ブループリン卜のスペクトル構成と構造層が、古典的スキーム理論を$\mathbb{F}_1$-幾何的対象を含む形に一般化できるか？
• RQ3 ブループリン卜から$B \mapsto B_{\mathbb{Z}}$ への普遍的なベース拡張が、ブルースキームと古典的スキームを結びつける役割を果たすか？
• RQ4 ブルースキームは、既存の$\mathbb{F}_1$-幾何的構成（コンネス＝コンサニスキーム、トロピカルスキームなど）とどのように関係しているか？
• RQ5 ブルースキームに対して、グローテンディークスキームのゼータ関数と$\mathbb{F}_1$-スキームの組合せ的ゼータ関数を統一するゼータ関数理論が存在するか？

主な発見

• ブループリン卜の圏は、半環とモノイドをフルな部分圏として含み、半環をブループリン卜$(R,R)$ として自然に埋め込むことができる。
• ブループリン卜$B=(A,R)$ のスペクトル$\operatorname{Spec}B$ は素イデアルを用いて定義され、集合$U_h = \{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}B \mid h \notin \mathfrak{p} \}$ で生成される位相と、局所化$B_{\mathfrak{p}}$ を用いて定義される構造層を持つ。
• 任意の$X = \operatorname{Spec}B$ に対して、自然な準同型$B \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ が存在し、$\operatorname{Spec} \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \operatorname{Spec} B$ が同型を誘導する。これにより、グローバルセクションがスペクトル同値の意味で元のブループリン卜を回復することが保証される。
• ベース拡張関手$(-)_{\mathbb{Z}}$ は任意のブループリン卜を環に写像し、ブルースキームからグローテンディークスキームへの右随伴関手を誘導する。これは、古典的なベース拡張$- \otimes_{\mathbb{F}_1} \mathbb{Z}$ を一般化する。
• 半環スキームは、半環$R$ に対して局所的に$\operatorname{Spec} R$ に同型なブルースキームとして特定され、仮説が妥当であると仮定すれば、半環スキームの圏はトーン＝ヴァキエの${\mathbb{N}}$-スキームと同値である。
• コンネス＝コンサニ$\mathbb{F}_1$-スキームは、$X$ が${\mathcal{M}}_0$-スキームで、すべての体$k$ に対して$X(k) \to Y(k)$ が全単射であるような準同型$X_{\mathbb{Z}} \to Y$ として回復され、ブルースキームのより広いクラスに一般化される。