[論文レビュー] The Geometry of Consistency: Decohering Histories in Generalized Quantum Theory

D. A. Craig|ArXiv.org|Apr 17, 1997

Quantum Mechanics and Applications参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、一般化された一貫した歴史量子理論における退 coherence を理解するための幾何的枠組みを構築する。退 coherence 関数をヒルベルト空間上の線形作用素空間へのヘルミート形式として解釈することで、一貫した歴史の集合がこの形式下で直交集合に対応することを確立する。正の退 coherence 関数に対してコーシー・シュバルツおよび三角不等式を導出し、退 coherence 関数の統一的幾何的特徴づけを提供する。これには、クラス作用素に対する ILS 定理の新しい版が含まれる。

ABSTRACT

The geometry of decoherence in generalized "consistent histories" quantum theory is explored, revealing properties of the theory that are independent of any particular application of it. It is shown how the decoherence functional of a closed quantum system may be regarded as an Hermitian form on the space of linear operators on the Hilbert space of the system. This identification makes manifest a number of structural properties of decoherence functionals. For example, a bound on the maximum number of histories in a consistent set is determined. When the decoherence functional is positive -- as in conventional quantum mechanics -- it defines a semi-inner product on the space of history operators. This shows that consistent sets of histories are just orthogonal sets in this inner product. It further implies the existence in general of Cauchy-Schwarz and triangle inequalities for positive decoherence functionals. The geometrical significance of the ILS theorem classifying all possible decoherence functionals is illuminated, and a version of the ILS theorem for decoherence functionals on class operators is given. The class of history operators consistent according to a given decoherence functional is found, and, conversely, it is shown how to construct the decoherence functionals according to which a given set of histories is consistent. More generally, the "geometric" point of view here developed supplies a powerful unified language with which to solve problems in generalized quantum theory.

研究の動機と目的

• 一般化量子理論における退 coherence 関数の幾何的解釈を構築すること。
• 特定の物理的応用に依存しない退 coherence の構造的性質を同定すること。
• 内積幾何学を用いて一貫した歴史集合の数学的性質を明確化すること。
• 退 coherence 関数をクラス作用素に作用させる場合に ILS 定理を一般化すること。
• 一般化量子理論における問題を解くための統一的幾何的言語を提供すること。

提案手法

• ヒルベルト空間上の線形作用素空間への退 coherence 関数をヘルミート形式として表現する。
• この形式を用いて、関数が正である場合に半内積を定義し、幾何的解析を可能にする。
• 一貫した歴史集合をこの半内積下での直交集合として特徴付ける。
• 半正定値構造に基づき、コーシー・シュバルツおよび三角不等式を導出する。
• クラス作用素に作用する退 coherence 関数に対する ILS 定理の版を構築する。
• 一貫した歴史集合とそれらの一貫性を保証する退 coherence 関数との間に双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化量子理論における退 coherence 関数は、作用素空間へのヘルミート形式としてどのように幾何的に解釈できるか？
• RQ2 退 coherence 関数が正であるとき、一貫した歴史集合に課される構造的制約は何か？
• RQ3 コーシー・シュバルツおよび三角不等式は、正の退 coherence 関数の幾何的構造からどのように導かれるか？
• RQ4 ILS 定理の幾何的意義は、すべての可能な退 coherence 関数を分類する上で何を意味するか？
• RQ5 与えられた一貫した歴史集合から、どのようにして退 coherence 関数を再構成できるか？

主な発見

• 作用素空間上の退 coherence 関数は形式的にヘルミート形式であり、内在的な幾何的構造を露呈する。
• 正である場合、退 coherence 関数は半内積を定義し、これにより一貫した歴史集合がこの空間における直交集合と等価になる。
• 内積空間の幾何的制約から、一貫した集合に含まれる歴史の数に有限の上界が導かれる。
• コーシー・シュバルツおよび三角不等式が、すべての正の退 coherence 関数に対して成り立つことが示され、干渉の定量的評価が可能になる。
• クラス作用素上の退 coherence 関数に対する ILS 定理の新しい版が確立され、このような関数の分類が一般化される。
• 構成的双対性が示された：任意の一貫した歴史集合に対して、それらの一貫性を保証する具体的な退 coherence 関数を明示的に構成可能である。