[論文レビュー] Dual Cones and Mirror Symmetry for Generalized Calabi-Yau Manifolds

Victor V. Batyrev, Lev Borisov|ArXiv.org|Feb 3, 1994

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 106

ひとこと要約

本稿は、特異的でないカレブ・ヤウ多様体の鏡対称性を一般化するための組合せ的枠組みとして、反射的ゴレンシュタイン錐を導入する。この枠組みは、トーリック幾何を用いて、次元 $d + 2(r-1)$ の一般化されたカレブ・ヤウ多様体へと鏡対称性を拡張する。これらの錐の双対性は鏡対称性に対応し、既知の構成を統一し、剛体カレブ・ヤウ多様体の鏡の数学的解釈を提供する。

ABSTRACT

We introduce a special class of convex rational polyhedral cones which allows to construct generalized Calabi-Yau varieties of dimension $(d + 2(r-1))$, where $r$ is a positive integer and d is the dimension of critical string vacua with central chatge $c = 3d$. It is conjectured that the natural combinatorial duality satisfies by these cones corresponds to the mirror involution. Using the theory of toric varieties, we show that our conjecture includes as special cases all already known examples of mirror pairs proposed by physicists and agrees with previous conjectures of the authors concerning explicit constructions of mirror manifolds. In particular we obtain a mathematical framework which explains the construction of mirrors of rigid Calabi-Yau manifolds.

研究の動機と目的

• 標準的なカレブ・ヤウの場合を超えた一般化されたカレブ・ヤウ多様体の鏡対称性を説明する数学的枠組みを構築すること。
• ゴレンシュタイン錐を用いて、反射的多面体の組合せ的双対性を高次元の一般化されたカレブ・ヤウ多様体へと拡張すること。
• 剛体カレブ・ヤウ多様体の鏡対称性を、反射的ゴレンシュタイン錐の双対性と一致させること。
• 特にシュムリッグクらのもの在内的な既知の鏡構成を、1つのトーリック幾何的形式的体系に統合すること。

提案手法

• 格子内の有理的多面体的錐として反射的ゴレンシュタイン錐を定義し、その双対が自然に定義されることにより、関連するトーリック多様体がゴレンシュタイン特異点を持ち、その $r$ 乗テンソル積が正則層に一致することを保証する。
• これらの錐の双対性を用いて、$N=2$ スーパーコンフォーマル場理論におけるものに類似した鏡対称写像を定義する。
• トーリックファノ多様体 ${{\bf P}_\sigma}$ 上の層 $\mathcal{O}_{{\bf P}_\sigma}(1)$ の全切断の零点集合として、一般化されたカレブ・ヤウ多様体を構成する。
• 組合せ的還元技術を用いて、ゴレンシュタイントーリックファノ多様体内の完全交差を、高次元トーリック多様体内の超曲面に還元する。
• ネフ分割がトーリック多様体内のカレブ・ヤウ完全交差を定義するのに対し、その双対性を反射的ゴレンシュタイン錐と結びつける。
• 特に $({\bf P}_\Delta)^d/G$ の商特異点の幾何を用いて、錐の双対性とコhomological不変量（ホッジ数など）を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射的ゴレンシュタイン錐の双対性は、一般化されたカレブ・ヤウ多様体における鏡対称性を統一的に記述できる枠組みを提供できるか？
• RQ2 これらの錐の双対性は、$N=2$ スーパーコンフォーマル場理論における鏡対称写像とどのように関係するか？
• RQ3 剛体カレブ・ヤウ多様体の鏡の構成は、この錐の双対性によって説明可能か？
• RQ4 反射的ゴレンシュタイン錐の双対性は、シュムリッグクらの既知の鏡対を再現するか？

主な発見

• 反射的ゴレンシュタイン錐の双対性は、$N=2$ スーパーコンフォーマル場理論における鏡対称写像に対応し、鏡対称性の組合せ的実現を提供する。
• この構成により、次元 $d + 2(r-1)$ の一般化されたカレブ・ヤウ多様体が、$\mathcal{O}_{{\bf P}_\sigma}(1)$ の切断の零点集合として得られ、$r$ 乗テンソル積が反正則層に同型である。
• $d=3$ の場合、この構成により $E_0 \times E_0 \times E_0$ の ${\bf Z}/3{\bf Z}$ 行動による商として得られる剛体カレブ・ヤウ3次元多様体 $Z'$ が得られ、その鏡は7次元の立方超曲面の商として与えられる。
• $({\bf P}_\Delta)^d/G$ の商の解体 $\hat{Z}$ のホッジ数 $h^{1,1}$ は $\frac{d(3d-1)(3d-2)}{2}$ として計算され、コhomological一貫性が確認される。
• 反射的ゴレンシュタイン錐の双対性は、トーリック多様体内のカレブ・ヤウ完全交差を構成するためのネフ分割の双対性と一致する。