[論文レビュー] The gerbe of Higgs bundles

Ron Donagi, Dennis Gaitsgory|ArXiv.org|May 13, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素スキーム $X$ 上の固定されたカマラル被覆 ${\widetilde{X}}$ を持つヒッグスバンドルの圏が、層のアーベル群 $T_{{\widetilde{X}}}$ によるバンドされたゲルベであることを確立している。このゲルベの類は、$H^2(X, T_{{\widetilde{X}}})$ に属し、三つの成分からなる：分岐のねじれ、ワイル群のコhomology類 $[N] \in H^2(W, T)$、および $SO(2n+1)$-型の群に由来する非原始的コルートに起因する第三の項。このようなヒッグスバンドルの同型類は、$H^1(X, T_{{\widetilde{X}}})$ 上のトーラスを形成し、これはプリム多様体の一般化である。

ABSTRACT

The purpose of this work is to describe the (category of) Higgs bundles on a complex scheme X having a given cameral cover X~. We show that this category is a T_{X~}-gerbe, where T_{X~} is a certain sheaf of abelian groups on X, and we describe the class of this gerbe precisely. In particular, it follows that the set of isomorphism classes of Higgs bundles with a fixed cameral cover X~ is a torsor over the group H^1(X, T_{X~}), which itself parametrizes T_{X~}-torsors on X. This underlying group can be described as a generalized Prym variety, whose connected component is either an abelian variety or a degeneration thereof.

研究の動機と目的

• スキーム $X$ 上の複素数体 $\mathbb{C}$ 上のヒッグスバンドルを、固定されたカマラル被覆 ${\widetilde{X}}$ を用いて分類すること。
• このようなヒッグスバンドルの圏が、${\widetilde{X}}$ 上の正則中心化子の層 $T_{{\widetilde{X}}}$ によるバンドされたゲルベであることを示すこと。
• このゲルベの類が $H^2(X, T_{{\widetilde{X}}})$ に属することを明確に特定し、それがヒッグスバンドルの同型類を支配すること。

提案手法

• ヒッグスバンドルを、随伴バンドル内に正則中心化子の部分バンドルを持つ主 $G$-バンドルとして定義する。
• カマラル被覆 ${\widetilde{X}} \to X$ を、$W$-不変な有限平坦被覆として構成し、$GL(n)$ のスペクトル被覆を一般化する。
• 下降法とトーラス構造を用いて、固定されたカマラル被覆を持つヒッグスバンドルの圏 $\operatorname{Higgs}_{{\widetilde{X}}}(X)$ が、$T_{{\widetilde{X}}}$ によるバンドされたゲルベであることを示す。
• ゲルベの類を三つの成分の和として特定する：分岐のねじれ、ワイル群のコhomology類 $[N] \in H^2(W, T)$、および $SO(2n+1)$ の場合に由来するコルート関連の項。
• ゲルベの構造と中心化子の群スキームの構造を分析するために、普遍例 $\overline{G/N}$ を用いる。
• 結果を楕円被覆に適用し、ファイバー上の一般な半安定 $G$-バンドルが正則的であり、一意的な正則化を許容することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたカマラル被覆を持つヒッグスバンドルは、アーベル的データの観点からどのように分類可能か？
• RQ2 固定されたカマラル被覆上のヒッグスバンドルのゲルベを分類する $H^2(X, T_{{\widetilde{X}}})$ 内の正確な類は何か？
• RQ3 なぜゲルベの類に分岐、ワイル群のコhomology $H^2(W, T)$、および非原始的コルートからの寄与が含まれるのか？
• RQ4 楕円被覆の場合、ゲルベの構造は一般化されたプリム多様体とどのように関係するか？
• RQ5 普遍空間 $\overline{G/N}$ は、ゲルベのグローバル構造を理解するために果たす役割は何か？

主な発見

• 固定されたカマラル被覆 ${\widetilde{X}}$ を持つヒッグスバンドルの圏は、層 $T_{{\widetilde{X}}}$ によるバンドされたゲルベである。これは、同型類が $H^1(X, T_{{\widetilde{X}}})$ 上のトーラスを形成することを意味する。
• このゲルベの類 $H^2(X, T_{{\widetilde{X}}})$ は、三つの成分の和として与えられる：${\widetilde{X}} \to X$ の分岐分岐集合に沿った分岐のねじれ、ワイル群のコhomology類 $[N] \in H^2(W, T)$、および $SO(2n+1)$-型の群に由来する非原始的コルートに起因する第三の項。
• $H^1(X, T_{{\widetilde{X}}})$ は一般化されたプリム多様体であり、その連結成分はアーベル多様体または退化したアーベル多様体のいずれかである。
• $G = GL(n)$, $PGL(n)$, $SL(2n+1)$, $SO(n)$ の場合、ワイル群のコhomology類 $[N]$ は消えるが、$SL(2n)$ の場合には消えず、非自明な障害を示す。
• 楕円被覆の状況では、ファイバー上の一般な半安定 $G$-バンドルは正則的であり、そのグローバル構造は同じゲルベ論的枠組みによって支配される。
• ゲルベの構成は基底変換と整合し、分岐および非分岐の両方のカマラル被覆に適用可能であり、普遍例 $\overline{G/N}$ はモジュライ空間のグローバルモデルを提供する。