[論文レビュー] The Hecke Bicategory

Alexander E. Hoffnung|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、群の置換表現の圏であるヘッケ代数的圏のカテゴライゼーションとして、群のグロイドのスパンとグロイド化を用いてヘッケ双圏を導入する。ヘッケ双圏のデグロイド化と古典的ヘッケ代数との同値性を確立し、ヤン＝バクスター関係が射影平面の公理から生じ、高次圏においてザモロドチコフの四面体方程式の解へとカテゴライズ化されることを明らかにする。

ABSTRACT

We present an application of the program of groupoidification leading up to a sketch of a categorification of the Hecke algebroid --- the category of permutation representations of a finite group. As an immediate consequence, we obtain a categorification of the Hecke algebra. We suggest an explicit connection to new higher isomorphisms arising from incidence geometries, which are solutions of the Zamolodchikov tetrahedron equation. This paper is expository in style and is meant as a companion to Higher Dimensional Algebra VII: Groupoidification and an exploration of structures arising in the work in progress, Higher Dimensional Algebra VIII: The Hecke Bicategory, which introduces the Hecke bicategory in detail.

研究の動機と目的

• 群のグロイドのスパンとグロイド化を用いてヘッケ作用素のカテゴライゼーションフレームワークを構築すること。
• 有限群の置換表現の圏をカテゴライズ化する2圏的構造（ヘッケ双圏と呼ばれる）を確立すること。
• ヘッケ双圏のデグロイド化が古典的ヘッケ代数を回復することを示し、それによってヘッケ代数をカテゴライズ化すること。
• 得られた構造をインシデント幾何学およびザモロドチコフ四面体方程式のような高次代数的方程式と結びつけること。
• ヘッケ双圏およびその応用に関する『高次代数 VIII』における今後の研究のための解説的基盤を提供すること。

提案手法

• ベクトル空間をグロイドに、線形作用素をグロイドのスパンに置き換えるグロイド化を用いる。
• スパンのグロイド化を、グロイドからベクトル空間へ、スパンから行列へと写像するデグロイド化をデカテゴリフィケーション関手として用いる。
• 有限G-集合を対象とし、G-集合のスパンを1-射とするヘッケ双圏を構成し、グロイドのスパンのモノイダル双圏に倣って豊かにする。
• トポス論的技法を用いてG-集合のスパンを良いトポスとして解釈し、層の圏間の連続関手と結びつける。
• 射影平面幾何学の公理からヤン＝バクスター同型を導出し、それがインシデント関係から自然に生じることを示す。
• バーディング図と高次圏の合成を用いて、カテゴライズ化されたヘッケ代数が次元n ≥ 3においてザモロドチコフ四面体方程式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群の置換表現の圏は、どのようにグロイドのスパンを用いてカテゴライズ化できるか？
• RQ2 グロイド化を用いてヘッケ代数的圏をカテゴライズ化する際、どのような2圏的構造が生じるか？
• RQ3 射影平面における幾何的インシデント関係は、どのようにヤン＝バクスター同型のような高次代数的構造を生じさせるか？
• RQ4 カテゴライズ化されたヘッケ代数の生成子は、どのような形でザモロドチコフ四面体方程式を満たすか？
• RQ5 デグロイド化関手は、ヘッケ双圏からどのようにして古典的ヘッケ代数を回復するか？

主な発見

• ヘッケ双圏は、対象が有限G-集合で、1-射がG-集合のスパンであるヘッケ代数的圏のカテゴライズ化を提供する。
• Gの置換表現の圏とヘッケ双圏のデグロイド化との間に代数的圏の同値性が存在する。
• Bがボレル部分群であるとき、X = G/Bに対する群のグロイドHecke(X,X)は、Gのディンキン図形に関連するイワハリ＝ヘッケ代数をカテゴライズ化する。
• ヤン＝バクスター同型PLP ≅ LPLは、射影平面幾何学の公理から自然に生じるが、関係ではなくスパンの幾何的同型として現れる。
• カテゴライズ化されたヘッケ代数は、次元n ≥ 3においてザモロドチコフ四面体方程式を満たし、バーディング図が乗法と合成を表す。
• この構成は、インシデント幾何学、高次同型、および高次圏理論におけるザモロドチコフ方程式の解との深い関係を明らかにする。