[論文レビュー] The Heun differential equation and the Gauss differential equation related to quantum walks

Norio Konno, Takuya Machida+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

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ひとこと要約

本稿では、直線上の離散時間および連続時間量子ウォークの極限分布と、第二階Fuchs型微分方程式の特別なクラスとの間の直接的な数学的関係を確立している。離散時間ウォークに対してはヘン方程式（HE）、連続時間ウォークに対してはガウス超幾何方程式（GE）がそれぞれ対応する。極限密度関数からこれらの微分方程式を導出し、適切なスケーリング極限において離散時間ウォークのHEが連続時間ウォークのGEに還元されることを示し、微分方程式論を通じて二つの量子ウォークモデルの間の深い構造的関連を明らかにした。

ABSTRACT

The limit theorems of discrete- and continuous-time quantum walks on the line have been intensively studied. We show a relation among limit distributions of quantum walks, Heun differential equations and Gauss differential equations. Indeed, we derive the second-order Fucksian differential equations which limit density functions of quantum walks satisfy. Moreover, using both differential equations, we discuss a relationship between discrete- and continuous-time quantum walks. Taking suitable limit, we can transform a Heun equation obtained from the limit density function of the discrete-time quantum walk to a Gauss equation given by that of the continuous-time quantum walk.

研究の動機と目的

• 量子ウォークの極限分布に現れる特異点の起源を解明すること。これらの特異点は、対応する力学系の内部に存在しない。
• 1次元量子ウォークの極限密度関数が満たす第二階Fuchs型微分方程式を導出すること。
• 微分方程式を用いて、離散時間と連続時間の量子ウォークの間の数学的ブリッジを構築すること。
• 量子ウォーク、ヘン方程式、および$BC_1$イノゼンツェフ模型を含む可積分量子系との関連を調査すること。

提案手法

• 離散時間量子ウォークの極限密度関数が満たす第二階Fuchs型微分方程式を導出し、それがヘン方程式（HE）に同定されることを示す。
• 連続時間量子ウォークの極限密度関数がガウス超幾何微分方程式（GE）を満たすことを示す。
• HEを離散時間ウォークから連続時間ウォークのGEに変換するための極限手続きを適用し、両者の漸近的同値性を実証する。
• 独立変数の変換と変数変換を用いて、HEを$BC_1$イノゼンツェフハミルトニアンと関連づける。
• ワイエルシュトラスの℘関数と特定のパrameter選択を用いて、HEを$BC_1$イノゼンツェフモデルの固有値方程式に変換する。
• 密度関数に$x^2 = z$を代入することで測度論的対応を確立し、それぞれHEおよびGEを満たす重み関数が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ウォークの極限分布に観察される特異点は、どのように数学的に説明できるか？
• RQ2 1次元離散時間量子ウォークの極限密度関数を支配する微分方程式は何か？
• RQ3 1次元連続時間量子ウォークの極限密度関数を支配する微分方程式は何か？
• RQ4 離散時間ウォークの極限密度関数から導かれたヘン方程式は、極限手続きによって連続時間ウォークのガウス方程式に変換可能か？
• RQ5 ヘン方程式、ガウス方程式、および$BC_1$イノゼンツェフ可積分量子系との関連は何か？

主な発見

• 離散時間量子ウォークの極限密度関数は、4つの正則な特異点を持つ第二階Fuchs型微分方程式を満たし、パラメータ$\alpha=\beta=2$, $\gamma=\delta=\frac{3}{2}$, $\epsilon=\frac{3}{2}$, $q=\frac{3|a|^2+2}{2}$, $\theta=|a|^2$ を持つヘン方程式（HE）に同定される。
• 連続時間量子ウォークの極限密度関数は、パラメータ$\alpha=\beta=1$, $\gamma=\frac{3}{2}$ を持つガウス超幾何微分方程式（GE）を満たす。
• スケーリング極限において、離散時間ウォークのHEは連続時間ウォークのGEに還元され、両モデル間の数学的対応が確認された。
• 離散時間ウォークの極限密度関数から導かれたHEは、パラメータ$l_0=-\frac{1}{2}$, $l_1=0$, $l_2=-\frac{3}{2}$, $l_3=1$ および固有値$\frac{2-|a|^2}{12}\{\wp(w_1)-\wp(-w_1-w_3)\}$ を用いて、$BC_1$イノゼンツェフハミルトニアンの固有値方程式に変換可能である。
• 離散時間ウォークの測度$f^{(d)}(x)\,dx$に$x^2 = z$を代入することで得られる重み関数$w^{(d)}(z)$は、ヘン方程式を満たす。
• 連続時間ウォークの測度$f^{(c)}(x)\,dx$に$x^2/4\nu^2 = z$を代入することで得られる重み関数$w^{(c)}(z)$は、ガウス超幾何方程式を満たす。