[論文レビュー] The homotopy type of the $\\infty$-category associated to a simplicial complex

Dimitri Ara, Georges Maltsiniotis|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、順序集合から生じる単体複体から自由に生成された厳密∞-圏が、元の複体と同じホモトピー型を持つことを確立する。スティーブの増分指向複体理論を用いて、スティーブのオリエンタルにおける擬初等的対象の構造を通じてこれを証明し、厳密∞-圏におけるトーマソンモデル構造のための重要な条件を確認する。

ABSTRACT

This paper is part of a series of papers about homotopy theory of strict $n$-categories. In the first paper of this series, we gave conditions that guarantee the existence of a Thomason model category structure on the category of strict $n$-categories. The main goal of our paper is to show one of these conditions. To do so, we associate to any simplicial complex a strict $\\infty$-category generated by a computad. We conjecture that this $\\infty$-category has the same homotopy type as the corresponding simplicial complex and we prove this conjecture when the simplicial complex comes from a poset. We introduce the notion of a quasi-initial object of an $\\infty$-category and we show that Street's orientals admit such an object. One of the main tools used in this text is Steiner's theory of augmented directed complexes.

研究の動機と目的

• 厳密n-圏におけるトーマソンモデルカテゴリ構造の存在に必要な重要な条件を検証すること。
• 順序集合から生じる単体複体とその関連する厳密∞-圏との間のホモトピー同値を確立すること。
• ∞-圏における擬初等的対象の概念を導入し、分析すること。
• スティーブのオリエンタルが擬初等的対象を備えていることを示し、ホモトピー予想を支持すること。
• スティーブの増分指向複体理論を、ホモトピー的解析の基盤的ツールとして応用すること。

提案手法

• コンピュータドによる自由生成を用いて、単体複体から厳密∞-圏を構成する。
• スティーブの増分指向複体理論を用いて、∞-圏のホモトピー的構造をモデル化する。
• ∞-圏における擬初等的対象を、高次圏理論における初期対象の一般化として定義する。
• スティーブのオリエンタルが擬初等的対象を備えていることを証明し、これによりその収縮性とホモトピー的自明性が裏付けられる。
• 順序集合-単体複体に関連する増分指向複体に収縮写像を構成し、ホモトピー同値を示す。
• 明示的なチェーンホモトピーの議論を通じて、得られた∞-圏が元の単体複体と同じホモトピー型を持つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序集合から生じる単体複体に付随する厳密∞-圏は、その複体自体と同じホモトピー型を持つだろうか？
• RQ2 擬初等的対象の概念は、∞-圏におけるホモトピー的自明性を検出するために用いることができるか？
• RQ3 スティーブのオリエンタルは擬初等的対象を備えているだろうか？ そしてこれはそのホモトピー型にどのような意味を持つのか？
• RQ4 スティーブの増分指向複体理論は、∞-圏におけるホモトピー同値を証明するためにどのように応用できるか？
• RQ5 単体複体から生成された∞-圏が、元の複体とトーマソン同値であるための条件は何か？

主な発見

• 順序集合から生じる単体複体から自由に生成された厳密∞-圏は、元の単体複体と同じホモトピー型を持つ。
• スティーブのオリエンタルは擬初等的対象を備えており、これはその収縮性と自明なホモトピー型を示唆する。
• ∞-圏に擬初等的対象が存在することは、ホモトピー的自明性の十分条件として機能しうる。
• スティーブの増分指向複体理論は、∞-圏のホモトピー的性質を分析する強力な枠組みを提供する。
• コンピュータドによる生成と増分化を通じて構成されたチェーン複体は、明示的な収縮を伴い、良好に振る舞う。
• ∞-圏のホモトピー型は単体複体のそれと一致し、順序集合の文脈における重要な予想を確認する。