[論文レビュー] The index of an Eisenstein ideal and multiplicity one

Hwajong Yoo|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、MazurのEisenstein理想に関する結果を素数レベルから平方自由なレベルへ一般化し、Eisenstein理想の指数を計算し、特定の条件下でモジュラーヤコビアン $J_0(N)$ の $\frak{m}$- torsion の次元が 2 であることを証明する—これは $\pi_\ell(S_N) = 1$ のとき、Eisenstein最大理想に対して多重性1の定理を確立する。結果として、捩れ部分群やモジュラー形式間の合同関係に関する古典的結果が拡張される。

ABSTRACT

Mazur's fundamental work on Eisenstein ideals of prime level has a variety of arithmetic applications. In this article, we generalize some of his work to square-free level. More specifically, we attempt to compute the index of an Eisenstein ideal and the dimension of the m-torsion of the modular Jacobian variety, where m is an Eisenstein maximal ideal. In many cases, the dimension of the m-torsion is 2, in other words, a multiplicity one theorem holds.

研究の動機と目的

• MazurのEisenstein理想の指数および $J_0(N)$ の $\frak{m}$- torsion の次元に関する結果を、素数レベルから平方自由なレベルへ拡張すること。
• 平方自由な $N$ に対して、Hecke代数 $\tau(N)$ 内のEisenstein理想 $I_M$ の指数を計算し、それが $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ に同型であり、$m$ が $\frac{\varphi(N)\psi(N/M)}{24}$ の分子であることを示すこと。
• 残差位数 $\ell \nmid 6N$ のEisenstein最大理想 $\frak{m}$ に対する $J_0(N)[\frak{m}]$ の次元を調査し、特に $\pi_\ell(S_N) = 1$ の条件下で考察すること。
• 平方自由なレベルにおけるEisenstein最大理想に対して多重性1の定理を証明し、$\pi_\ell(S_N) = 1$ のとき $\dim J_0(N)[\frak{m}] = 2$ であることを示すこと。
• 一般化されたOgg予想（$J_0(N)$ の有理捩れ部分群が尖点群である）を、分岐構造と捩れ構造の分析を通じて支持すること。

提案手法

• Mazurの構成を一般化し、$p \mid M$ の $p$ に対して $U_p - 1$、$q \mid N/M$ の $q$ に対して $U_q - q$、$r \nmid N$ の $r$ に対して $T_r - r - 1$ を生成元とするEisenstein理想 $I_M$ を定義する。
• $\varphi(N) = \prod (p_i - 1)$ および $\psi(N/M) = \prod (p_i + 1)$ を用いて、$\mathbb{T}(N)/I_M$ の指数 $m$ を $\frac{\varphi(N)\psi(N/M)}{24}$ の分子として定義する。
• 特に $N$ を割る素数での分岐に注目し、Galois表現およびSerre-Tate理論を用いて $J_0(N)$ の $\frak{m}$- torsion を分析する。
• $\pi_\ell(S_N)$ を、$p \mid N$ で $p \equiv \pm 1 \pmod{\ell}$ を満たす素数の個数として定義し、$\dim J_0(N)[\frak{m}]$ を上から抑えるための主要な不変量として用いる。
• Ribetのモジュラー性および新形式理論を適用し、$\frak{m}$ が新か古かを特定し、Nakayamaの補題を用いて $J_{{\rm new}}[\frak{m}]$ の次元を上界で抑える。
• Verschiebung準同型およびNéronモデルのトーラス $T$ と単位成分 $J^0$ を含む完全列を用いて、素数 $q$ における $J[\frak{m}]$ を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方自由な $N$ に対して、Hecke代数 $\mathbb{T}(N)$ 内のEisenstein理想 $I_M$ の指数は何か？
• RQ2 Eisenstein最大理想 $\frak{m}$ に対して $\dim J_0(N)[\frak{m}] = 2$ が成り立つ条件は何か？
• RQ3 $\pi_\ell(S_N) = 1$ の条件が $J_0(N)[\frak{m}]$ の多重性1性質とどのように関係するか？
• RQ4 Eisenstein理想の分析を通じて、一般化されたOgg予想（$J_0(N)$ の有理捩れ部分群が尖点群である）を支持できるか？
• RQ5 $\frak{m}$ が複数の素数で分岐しているとき、特に $q \equiv 1 \pmod{\ell}$ のとき、$J_0(N)[\frak{m}]$ の次元は何か？

主な発見

• $y \nmid 2N$ で局所化された $\mathbb{T}(N)$ 内のEisenstein理想 $I_M$ の指数は、$\frac{\varphi(N)\psi(N/M)}{24}$ の分子である $m$ を用いて $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ に同型である。
• $\pi_\ell(S_N) = 1$ のとき、$J_0(N)[\frak{m}]$ の次元は正確に 2 であり、これは平方自由なレベルにおけるEisenstein最大理想に対する多重性1の定理を確認する。
• $q \equiv -1 \pmod{\ell}$ かつ $q$ が $p$ を法として $\ell$ 乗剰余でない場合、$\frak{m}$ は $q$ で不分岐であり、$\frak{m}$- torsion は $q$- old であるため、$\dim J_0(N)[\frak{m}] = 2$ である。
• $q \equiv 1 \pmod{\ell}$ のとき、$J_0(N)[\frak{m}]$ の次元は少なくとも 4 であり、追加の条件下では 5 に達する。これはSAGE計算とRibet理論によって確認されている。
• $J_0(N)[\frak{m}]$ の次元は $1 + \varpi_0(\frak{m}) + \varpi\_\ell(S_\frak{m})$ で上界が与えられ、ここで $\varpi_0(\frak{m})$ は $U_p \equiv 1 \pmod{\frak{m}}$ かつ $p \equiv 1 \pmod{\ell}$ を満たす $p \mid N$ の素数の個数を数える。
• $J_0(N)$ の有理捩れ部分群は尖点群に含まれており、特に $\pi_\ell(S_N) = 1$ のとき、一般化されたOgg予想を支持する。