[論文レビュー] The intermediate type of certain moduli spaces of curves

Gavril Farkas, Alessandro Verra|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、曲線のモジュライ空間において中間のコイカラ次元をもつ最初の既知の例を確立し、8乗の偶数スピン曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ がコイカラ次元0—具体的には、カルラヤ・ヤウ型—をもつことを証明した。さらに、$\overline{\mathcal{M}}_{11,11}$ がコイカラ次元19をもつことを示し、モジュライ的意味において11乗の曲線が10乗の曲線よりも複雑であることを示した。

ABSTRACT

A well-known principle of Mumford asserts that all moduli spaces of curves are varieties of general type, except a finite number of cases that occur for relatively small genus, when these varieties tend to be uniruled. In all known cases, the transition from uniruledness to being of general type is quite sudden. For the first time, we show that naturally defined moduli spaces of curves can have intermediate birational type. We show that the moduli space of even spin curves of genus 8 is of Calabi-Yau type. Then we prove that the 41-dimensional moduli space M_{11, 11} of 11-pointed curves of genus 11, has Kodaira dimension 19.

研究の動機と目的

• スピンモジュライ空間における一般型と有理被覆の間の未解決の中間ケースに位置する、モジュライ空間 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ の双有理幾何を解明すること。
• 中間コイカラ次元をもつ曲線のモジュライ空間の存在を確立すること—これは、従来の文献では未知の現象であった。
• 非負のコイカラ次元をもつ $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ を得るために必要な最小のマークド点数を測る不変量 $\zeta(g)$ の正確な値を特定すること、特に $g=11$ の場合。
• $\overline{\mathcal{M}}_{11,11}$ がコイカラ次元19をもつことを証明し、10乗から11乗に移行する際に予想に反して複雑性が増加することを明らかにすること。
• $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ における有理曲線を構成し、それらがシータ・ノルム除算をスイープし、標準類が剛性を示すことを示し、これによりコイカラ次元が0であることを示すこと。

提案手法

• 標準除算 $K_{\overline{\mathcal{S}}_8^+}$ の有効代表を、$\mathbb{Q}$-線形結合として、シータ・ノルム除算 $\overline{\Theta}_{\mathrm{null}}$、$\pi^*(\overline{\mathcal{M}}_{8,7}^2)$ の引き戻し、および境界除算子として明示的に構成する。
• この除算代表における各成分の剛性を用いて、標準類が剛性であることを示し、これにより $\kappa(\overline{\mathcal{S}}_8^+) = 0$ を得る。
• 8乗の $\overline{\mathcal{M}}_8$ のムカイモデルを、$G(2,6)$ 上のバンドルのGIT商として用いて、標準的曲線を含む $K3$ 表面の幾何を分析する。
• $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 内に存在する有理曲線 $R$ を構成し、それらが $\overline{\Theta}_{\mathrm{null}}$ をスイープし、$R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$ かつ $R \cdot \pi^*(\overline{\mathcal{M}}_{8,7}^2) = 0$ を満たし、すべての境界除算から離れていることを示す。
• $K3$ 表面への標準的曲線の拡張を用いて、$\mathbb{P}^8$ 内のランク4の二次曲面への埋め込みを実現し、二重楕円的 $K3$ 表面を介して有理曲線を構成する。
• 行列式式とチャーン類の計算を用いて、特にノード集合の閉包 $\overline{\mathfrak{Node}}_g$ の交差数を $\overline{\mathcal{M}}_{7,n}$ 上で計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然に定義された、中間コイカラ次元（つまり、有理被覆と一般型の間）をもつ曲線のモジュライ空間が存在するか？
• RQ2 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$、8乗の偶数スピン曲線のモジュライ空間のコイカラ次元は何か？
• RQ3 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の複雑さは $n$ と共にどのように増加するか？ また、$\kappa(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}) \geq 0$ を満たす最小の $n$ は何か？
• RQ4 $\overline{\mathcal{M}}_{11,11}$ がコイカラ次元19をもつのはなぜか？ 10乗から11乗に移行する際に、予想に反して複雑性が増加する理由は何か？
• RQ5 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ の標準除算が、明示的な有理曲線と除算類の計算を用いて剛性であることを示せるか？

主な発見

• $\overline{\mathcal{S}}_8^+$、8乗の偶数スピン曲線のモジュライ空間はコイカラ次元0をもち、カルラヤ・ヤウ型である。
• $\overline{\mathcal{S}}_8^{-}$、奇数スピンモジュライ空間は有理被覆であるが、$\overline{\mathcal{S}}_8^{+}$ はカルラヤ・ヤウ型である。これは8乗での驚くべき双対性を示している。
• $\overline{\mathcal{M}}_{11,11}$ はコイカラ次元19をもち、次元は41である。これにより $\zeta(11) = 11$ が得られ、11乗の曲線が10乗の曲線よりも複雑であることが示された。
• 標準除算 $K_{\overline{\mathcal{S}}_8^+}$ は剛性を示す。これは、$\overline{\Theta}_{\mathrm{null}}$、$\pi^*(\overline{\mathcal{M}}_{8,7}^2)$、境界除算子の $\mathbb{Q}$-線形結合として表されるからである。
• $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 内に存在する有理曲線 $R$ が $\overline{\Theta}_{\mathrm{null}}$ をスイープし、$R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$、$R \cdot \pi^*(\overline{\mathcal{M}}_{8,7}^2) = 0$ を満たし、すべての境界除算から離れている。
• $\overline{\mathcal{M}}_{7,13}$ 内の被覆曲線 $\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ の構成により、$\overline{\mathcal{M}}_{7,n}$ が $n \leq 13$ のとき有理被覆であることが、$\lambda$、$\psi_i$、$\delta$ クラスとの明示的な交差数により確認された。