[論文レビュー] The K-theory of abelian versus nonabelian symplectic quotients

Megumi Harada, Gregory D. Landweber|ArXiv.org|Jan 12, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンpakto連結リー群 $G$ によるシンプレクティック商 $M//G$ の $K$-理論的類似を、マーティンの有理コホモロジー結果に定義し、$T$ を最大トーラスとして、$K$-理論 $K(M//T)$ の $T$-不変要素から $K(M//G)$ を計算できることを示している。ここでは、$\mathrm{Spin}^c$ バンドルのオイラー類 $e$ を用いる。主な革新点は、マーティンの $e^2$ 依存を避ける代わりに $e$ の annihilator を用いることで、ワイル群の位数で割る必要がなくなり、 torsion 敏銳な計算が可能になることである。

ABSTRACT

We compare the K-theories of symplectic quotients with respect to a compact connected Lie group and with respect to its maximal torus, and in particular we give a method for computing the former in terms of the latter. More specifically, let G be a compact connected Lie group with no torsion in its fundamental group, let T be a maximal torus of G, and let M be a compact Hamiltonian G-space. Let M//G and M//T denote the symplectic quotients of M by G and by T, respectively. Using Hodgkin's Kunneth spectral sequence for equivariant K-theory, we express the K-theory of M//G in terms of the elements in the K-theory of M//T which are invariant under the action of the Weyl group, in addition to the Euler class e of a natural Spin^c vector bundle over M//T. This Euler class e is induced by the denominator in the Weyl character formula, viewed as a virtual representation of T; this is relevant for our proof. Our results are K-theoretic analogues of similar (unpublished) results by Martin for rational cohomology. However, our results and approach differ from his in three significant ways. First, Martin's method involves integral formulae, but the corresponding index formulae in K-theory are too coarse a tool, as they cannot detect torsion. Instead, we carefully analyze related K-theoretic pushforward maps. Second, Martin's method involves dividing by the order of the Weyl group, which is not possible in (integral) K-theory. We render this unnecessary by examining Weyl anti-invariant elements, proving a K-theoretic version of a lemma due to Brion. Finally, Martin's results are expressed in terms of the annihilator ideal of e^2, the square of the Euler class mentioned above. We are able to "remove the square", working instead with the annihilator ideal of e.

研究の動機と目的

• マーティンのシンプレクティック商に関する有理コホモロジー結果を、$K$-理論を用いて整数設定に拡張すること。
• 整数コホモロジーにおける制限、たとえば torsion やキルワンの全射性の失敗を克服するため、より適した枠組みとして $K$-理論を用いること。
• $K(M//G)$ を $K(M//T)$ の式として表す $K$-理論的公式を提供し、ワイル群の位数で割る必要を避け、torsion を扱えるようにすること。
• マーティンの $e^2$ の annihilator を $e$ の annihilator に置き換えることで、構造を単純化し、適用範囲を広げること。
• 等化的 $K$-理論のプッシュフォワードとプルバック、およびワイル群作用を用いてシンプレクティック商の $K$-理論を計算する手法を確立すること。

提案手法

• 等化的 $K$-理論におけるホジキンの Künneth 譜系列を用いて、$K_G^*(M)$ と $K_T^*(M)$ を関連付ける。
• $K(M//G)$ を、$K(M//T)$ の $W$-不変要素の部分モジュールとして、オイラー類 $e$ の annihilator で割ったものとして特徴付ける。
• $G$ から $T$ への群の還元におけるクラスの振る舞いを分析するために、$K$-理論的プッシュフォワードとプルバック写像を用いる。
• 整数 $K$-理論では無効なワイル群の平均化を避けるために、ブリオンの補題の $K$-理論的版を適用する。
• ワイル分母から誘導されるオイラー類 $e$ を、非不変クラスを切り出す主要な不変量として用いる。
• $e^2$ ではなく $e$ の annihilator 理想を用いることで、二乗の必要性を排除し、torsion 敏銳な状況での精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大トーラス $T$ を持つ $G$ に対して、$M//G$ の $K$-理論を $M//T$ の $K$-理論からどのように計算できるか？
• RQ2 $\mathrm{Spin}^c$ バンドルのオイラー類 $e$ は、$K(M//G)$ と $K(M//T)$ をどのように関連付けるか？
• RQ3 マーティンの有理コホモロジー結果を拡張するにあたり、なぜ $K$-理論が整数コホモロジーよりも優れているのか？
• RQ4 ワイル群作用を用いて $|W|$ で割らずに $K(M//G)$ を特徴付ける方法は何か？
• RQ5 $e^2$ の annihilator を $e$ の annihilator に置き換えることは可能か？その利点は何か？

主な発見

• $K(M//G)$ は、$K(M//T)$ の $W$-不変要素で、オイラー類 $e$ によって annihilated される部分モジュールに同型である。
• ワイル群の位数で割る必要を避けるために、ワイル反不変要素と $K$-理論的ブリオン補題の版を用いる。
• オイラー類 $e$ はワイル分母から生じ、仮想表現 $\mathfrak{g}/\mathfrak{t}$ に対応し、計算に不可欠である。
• $e^2$ を用いるマーティンのコホモロジー的アプローチとは異なり、$e$ の annihilator だけでも正しい部分環を切り出すのに十分である。
• 多くの整数コホモロジー技法が無効になる torsion が存在する状況でも、結果は有効であり、$K$-理論の優位性を示している。
• トム同型とオイラー類が存在する限り、この枠組みは複素コボルディズムなどの他のコホモロジー理論へも拡張可能である。