[論文レビュー] The Kitaev Model with Boundary: Condensations and Symmetries

Salman Beigi, Peter W. Shor+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2010

Advanced Condensed Matter Physics参考文献 10被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、有限群のKitaevの量子ダブル模型に境界と相の異なる領域を分かつ界面（ドメインウォール）を導入し、境界でどの任意ons（任意粒子）が凝縮するか、およびドメインウォールを越えてどのように任意onsがトンネルするかを特徴づけている。群の形が $\mathbb{F}_q^+ \rtimes \mathbb{F}_q^\times$ である場合、例えば $S_3$ を含む、特定の任意ons（電荷子とフラックス子）が区別不能であることを示しており、任意onsスペクトルに隠れた対称性を明らかにしている。

ABSTRACT

Associated to every finite group, Kitaev has defined the quantum double model for every orientable surface without boundary. In this paper, we define boundaries for this model and characterize condensations; that is, we find all quasi-particle excitations (anyons) which disappear when they move to the boundary. We then consider two phases of the quantum double model corresponding to two groups with a domain wall between them, and study the tunneling of anyons from one phase to the other. Using this framework we discuss the necessary and sufficient conditions when two different groups give the same anyon types. As an application we show that in the quantum double model for S_3 (the permutation group over three letters) there is a chargeon and a fluxion which are not distinguishable. This group is indeed a special case of groups of the form of the semidirect product of the additive and multiplicative groups of a finite field, for all of which we prove a similar symmetry.

研究の動機と目的

• 有限群のKitaevの量子ダブル模型における境界を定義し、特徴づけること。
• 境界に達したときにどの任意onsが凝縮（消える）するかを特定すること。
• 異なる有限群からなる2つの量子ダブル模型を分かつドメインウォールを越えて任意onsがどのようにトンネルするかを研究すること。
• 2つの異なる有限群が同じ任意ons型をもたらすために必要な十分条件を特定すること。
• $S_3$ 量子ダブル模型において、電荷子とフラックス子が区別不能であることを示し、任意onsスペクトルに隠れた対称性を明らかにすること。

提案手法

• 境界項を含むハミルトニアンを導入することで、量子ダブル模型の境界版を構築する。
• 任意onsの融合則およびバーニング則を用いて、トポロジカルなスーパーセレクション領域を通じて境界で凝縮する任意onsを分類する。
• 異なる有限群の2つの量子ダブル模型を結ぶドメインウォールを、任意onsトンネル則を用いて分析する。
• 群論的技法を用いて、特に半直積構造 $\mathbb{F}_q^+ \rtimes \mathbb{F}_q^\times$ に注目して、異なるモデル間の任意ons内容を比較する。
• 有限群の表現論および量子ダブルの構造を用いて、同一の任意ons型をもたらす条件を導出する。
• $S_3$ は $\mathbb{F}_3^+ \rtimes \mathbb{F}_3^\times$ と同型であるが、この場合、電荷子とフラックス子の任意onsは双対性対称性により区別不能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群の量子ダブル模型の境界で、どの任意onsが凝縮するか？
• RQ2 異なる群からなる2つの量子ダブル模型を分かつドメインウォールを越えて、任意onsはどのようにトンネルするか？
• RQ3 2つの異なる有限群が、それらの量子ダブル模型で同一の任意ons型をもたらすために満たすべき条件は何か？
• RQ4 $\mathbb{F}_q^+ \rtimes \mathbb{F}_q^\times$ の形をした群の量子ダブル模型の任意onsスペクトルにどのような対称性があるか？
• RQ5 $S_3$ 量子ダブル模型において、なぜ電荷子とフラックス子の任意onsが区別不能なのか？

主な発見

• 論文は、トポロジカルなスーパーセレクション則を用いて、量子ダブル模型の境界で凝縮するすべての任意onsを同定した。
• ドメインウォールを越えて任意onsがトンネルするためには、特定の融合則およびバーニング則の整合性条件を満たす必要があることが確立された。
• 2つの有限群が同型な任意ons型をもたらすための必要十分条件は、それらの量子ダブル模型の任意onsカテゴリが同型であることである。これは特定の群論的同型の下で成立する。
• $\mathbb{F}_q^+ \rtimes \mathbb{F}_q^\times$ の形をした群に対しては、双対性対称性が電荷子とフラックス子を入れ替えることができ、それらを区別不能にする。
• $S_3$ 量子ダブル模型において、電荷子とフラックス子の任意onsは双対性に加え、物理的にも区別不能であり、任意onsスペクトルに隠れた対称性が裏付けられた。
• この結果は、すべてのこのような半直積構造に一般化され、これらの模型において電荷およびフラックス励起状態の間で普遍的な双対性が成立することが示された。