[論文レビュー] The local entropy along Ricci flow---Part A: the no-local-collapsing theorems

Bing Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、リッチフローにおける局所的エントロピー関数を導入し、時間断片の局所的幾何と短縮距離の比較幾何を組み合わせることで、ペレラマンの非局所的崩壊回避定理および擬似局所性定理を一般化する。主な貢献は、ケーラー＝リッチフローが一般型の最小的射影多様体上で、その最小モデルにおける標準的ケーラー＝アインシュタイン極限へGromov-Hausdorff収束を可能にする一様な非崩壊推定である。

ABSTRACT

We localize the entropy functionals of G. Perelman and generalize his no-local-collapsing theorem and pseudo-locality theorem. Our generalization is technically inspired by further development of Li-Yau estimate along the Ricci flow. It can be used to show the Gromov-Hausdorff convergence of the Kähler Ricci flow on each minimal projective manifold of general type.

研究の動機と目的

• グローバルなエントロピー関数と空間時間における短縮幾何の制限を克服するため、局所的解析を可能にするためにペレラマンのエントロピー関数を局所化する。
• 空間時間的仮定を必要としない、単一の時間断片の幾何にのみ依存する局所的非崩壊定理のバージョンを確立する。
• 局所的関数を用いて、一般型の最小的射影多様体上のケーラー＝リッチフローに対して一様な非崩壊および直径の上限を証明する。
• ケーラー＝リッチフローが最小モデル上の標準的計量へGromov-Hausdorff収束することを示す。
• グローバルなν関数を非コンパクトまたは特異的極限に適用する際の無限エントロピーの落とし穴を避けるために、関数を局所化し、効果的な単調性および体積推定を可能にする。

提案手法

• 時間断片の計量における球にペレラマンのμおよびν関数を制限することで局所的エントロピー関数を定義し、単調性および比較幾何の特徴を保持する。
• Li-Yau-Hamilton型ハーナック不等式を用いて、局所的関数に対する効果的な単調性公式を導出する。
• 完全な空間時間的仮定を避けるために、局所的幾何に基づく一般化された短縮距離および体積密度関数を構築する。
• 局所的関数を用いて、次元、曲率の上限、および背景幾何にのみ依存する一様なκ > 0を伴う局所的非崩壊定理を証明する。
• 一様な非崩壊および直径の上限を用いて、ケーラー＝リッチフローが標準的計量へGromov-Hausdorff収束することを確立する。
• 複素Monge-Ampère方程式の正則性理論および放物型スケーリングを活用し、空間時間近傍における幾何を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペレラマンの非局所的崩壊回避定理は、グローバルまたは空間時間的仮定を避ける、時間断片に依存する局所的バージョンに一般化可能か？
• RQ2 グローバルな曲率やトポロジーの制御を要しないで、局所的幾何的挙動を捉えるために、エントロピー関数の単調性をどのように局所化できるか？
• RQ3 局所的エントロピー関数は、一般型最小モデル上のケーラー＝リッチフローに沿って一様な非崩壊および直径の上限を証明するために使用可能か？
• RQ4 グローバルなν関数を非コンパクトまたは特異的極限に適用する際の無限エントロピーの問題を、局所的関数がどのように回避できるか？
• RQ5 局所的アプローチは、ファノケーラー＝リッチフローにおける収束結果に類似した結果を、一般型多様体に対してどの程度可能にするか？

主な発見

• ペレラマンの非局所的崩壊回避定理の局所的バージョンが確立され、すべてのr ∈ (0,1)およびフローの時空内すべての(x,t)に対してr⁻ᵐ|B(x,r)| ≥ κを満たす一様なκ > 0が得られる。
• 一般型の最小的射影多様体上のケーラー＝リッチフローは、最小モデル上の標準的ケーラー＝アインシュタイン計量へGromov-Hausdorff位相で収束する。
• 局所的関数を用いて一様な直径の上限および一様な非崩壊性が証明され、グローバルなν関数が無限エントロピーのため失敗する可能性がある状況を回避する。
• 証明は放物型スケーリングおよび複素Monge-Ampère方程式の解の正則性に依存し、空間時間近傍における一様に有界な幾何を保証する。
• 局所的関数は、短縮体積の単調性および比較幾何の特徴を継承するが、局所的時間断片データにのみ依存するため、局所的解析が可能になる。
• 完全な空間時間的非崩壊仮定を避けることができ、従来の短縮幾何が失敗する特異的または非コンパクトな極限に対しても適用可能になる。