[論文レビュー] The local Langlands correspondence for inner forms of $SL_n$

Anne‐Marie Aubert, Paul Baum+2 more|MIMS EPrints (University of Southampton)|May 12, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、非離散局所体 $F$ 上の $\mathrm{SL}_n(F)$ のすべての内形について、局所Langlands対応を確立し、成分群の既約表現を備えたLanglandsパラメータ（強化Langlandsパラメータ）の集合と、すべての内形の既約適切表現の直和（同値関係による商をとったもの）との間の自然な全単射を示した。この結果はアーベル型の場合にまで拡張され、正標数の場合には近接体の方法を用いて、深さの制約のもとで $\mathrm{GL}_n$ 内形のLLCと整合する。

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field. We establish the local Langlands correspondence for all inner forms of the group $SL_n (F)$. It takes the form of a bijection between, on the one hand, conjugacy classes of Langlands parameters for $SL_n (F)$ enhanced with an irreducible representation of an S-group and, on the other hand, the union of the spaces of irreducible admissible representations of all inner forms of $SL_n (F)$. An analogous result is shown in the archimedean case. To settle the case where F has positive characteristic, we employ the method of close fields. We prove that this method is compatible with the local Langlands correspondence for inner forms of $GL_n (F)$, when the fields are close enough compared to the depth of the representations.

研究の動機と目的

• 非離散局所体 $F$ 上の $\mathrm{SL}_n(F)$ のすべての内形について、正標数を含めて局所Langlands対応を完成させること。
• 強化Langlandsパラメータと $\mathrm{SL}_n(F)$ の内形の既約適切表現との間の自然な全単射を定義すること。
• 対応をアーベル型の場合にまで拡張すること。
• 深さ制約のもとで、近接体の方法が $\mathrm{GL}_n(F)$ 内形のLLCと整合することを証明すること。
• 内形 $\mathrm{SL}_n(F)$ のLパケツをパラメトライズする際の成分群 $\mathcal{S}_\phi$ と $\mathcal{Z}_\phi$ の役割を明確にすること。

提案手法

• 強化Langlandsパラメータ $\Phi^e(G^\sharp)$ を、$G^\sharp = \ker(\mathrm{Nrd}) \subset \mathrm{GL}_m(D)$ に対するLanglandsパラメータ $\phi$ と $\rho \in \mathrm{Irr}(\mathcal{S}_\phi)$ の対 $(\phi, \rho)$ として定義する。ここで $\mathcal{S}_\phi = Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)/Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)^\circ$ である。
• $\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})$ による $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ および $\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})$ への作用を用いて $\mathcal{S}_\phi$ と $\mathcal{Z}_\phi$ を定義し、標準的成分群 $S_\phi$ との間に短完全列を介して関係づける。
• 正標数の場合には、$p$-進体 $\widetilde{F}$ を $F$ に $l$-近接となるように構成することで、正標数の場合を特徴零標数の場合に還元する近接体の方法を適用し、深さ $\leq l$ の表現が整合的に上に持ち上がることを証明する。
• Jacquet–Langlands対応と $\zeta_r$-ファンクターの整合性を用いて、$\mathrm{GL}_m(D)$ と $\mathrm{GL}_{kd}(F)$ の表現を関連づけ、close field 同型のもとで $\mathrm{rec}_{D,m}(\pi)$ が $\mathrm{rec}_{\widetilde{F},kd}$ に持ち上がることを保証する。
• 近接体同型のもとで、相互作用作用素 $I_\gamma$ とコycle $\kappa_{\phi^\sharp}$ が保存されることを証明し、$\Pi_{\phi^\sharp}(G^\sharp)$ 上の $\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi$-作用が正しく持ち上がることを保証する。
• 表現のLLCによる像の $\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi, \kappa_{\phi^\sharp}]$-加群構造と一致することを示し、同型 $\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi, \kappa_{\phi^\sharp}] \cong e_{\chi_G}\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi]$ を用いて、$\mathrm{Irr}(G^\sharp) \to \Phi^e(G^\sharp)$ の自然な全単射を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非離散局所体 $F$ 上の $\mathrm{SL}_n(F)$ のすべての内形について、正標数を含めて局所Langlands対応をどのように拡張できるか。
• RQ2 強化Langlandsパラメータを用いた $\mathrm{SL}_n(F)$-Lパケツの正しいパラメトライズは何か。また、$\mathcal{S}_\phi$ と $\mathcal{Z}_\phi$ は標準的 $S_\phi$ をどのように精緻化するか。
• RQ3 深さ制限のもとで、近接体の方法が $\mathrm{GL}_n(F)$ 内形の局所Langlands対応とどの程度整合するか。
• RQ4 Jacquet–Langlands対応は、近接体の文脈において $\zeta_r$-ファンクターと $\mathrm{rec}_{D,m}$-写像とどのように作用するか。
• RQ5 すべての内形、特にアーベル型の場合を含めて、$\mathrm{Irr}(G^\sharp) \to \Phi^e(G^\sharp)$ の自然な全単射を一様に構成できるか。

主な発見

• 内形 $\mathrm{SL}_n(F)$ の局所Langlands対応は、強化Langlandsパラメータ $\Phi^e(G^\sharp)$ の集合と、すべての内形の既約適切表現の直和（同値関係による商）との間の自然な全単射として確立された。
• $\mathrm{SL}_n(F)$ の成分群 $\mathcal{S}_\phi$ は、商 $Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)/Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)^\circ$ として定義され、$\mathcal{Z}_\phi$ を含む短完全列を介して標準的 $S_\phi$ を精緻化する。
• 正標数の $p$-進体 $F$ に対しては、$l$-近接かつ $l$ が表現の深さに対して十分大きい場合、近接体の方法によりLLCが特徴零標数の場合に還元可能である。
• 近接体同型のもとで、相互作用作用素 $I_\gamma$ とコycle $\kappa_{\phi^\sharp}$ が保存され、$\Pi_{\phi^\sharp}(G^\sharp)$ 上の $\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi$-作用が正しく持ち上がることが保証された。
• $\Pi_{\phi^\sharp}(G^\sharp)$ 上の $\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi, \kappa_{\phi^\sharp}]$-加群構造は $e_{\chi_G}\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi]$ に同型であり、パラメトライズの方法が $G^\sharp$ の表現論と整合していることが確認された。
• 結果はアーベル型の場合にまで拡張され、$\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ および $\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})$ に対しても同様の全単射が成り立つことが示され、$\mathrm{SL}_n$ のすべての内形についてLLCが完成した。