[論文レビュー] A Fast Network-Decomposition Algorithm and its Applications to Constant-Time Distributed Computation

Leonid Barenboim, Michael Elkin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の定数 $\theta > 0$ に対して、定数時間で強 $(O(1), O(n^{\theta}))$-ネットワーク分解を計算する確率的分散アルゴリズムを提示する。これは、従来の定数時間手法と比較して、はるかに優れた色数（$O(n^{\theta})$ 対 $O(n^{1/2+\theta})$）を達成し、顕著な改善をもたらす。この手法は反復的クラスタリングと確率的色分けを活用し、低直径クラスタと少ない色数を維持しながら定数時間で計算を実現する。これにより、最小彩色や支配集合といった基本的問題の改善された近似アルゴリズムが可能になる。

ABSTRACT

A partition $(C_1,C_2,...,C_q)$ of $G = (V,E)$ into clusters of strong (respectively, weak) diameter $d$, such that the supergraph obtained by contracting each $C_i$ is $\ell$-colorable is called a strong (resp., weak) $(d, \ell)$-network-decomposition. Network-decompositions were introduced in a seminal paper by Awerbuch, Goldberg, Luby and Plotkin in 1989. Awerbuch et al. showed that strong $(exp\{O(\sqrt{ \log n \log \log n})\}, exp\{O(\sqrt{ \log n \log \log n})\})$-network-decompositions can be computed in distributed deterministic time $exp\{O(\sqrt{ \log n \log \log n})\}$. The result of Awerbuch et al. was improved by Panconesi and Srinivasan in 1992: in the latter result $d = \ell = exp\{O(\sqrt{\log n})\}$, and the running time is $exp\{O(\sqrt{\log n})\}$ as well. Much more recently Barenboim (2012) devised a distributed randomized constant-time algorithm for computing strong network decompositions with $d = O(1)$. However, the parameter $\ell$ in his result is $O(n^{1/2 + ε})$. In this paper we drastically improve the result of Barenboim and devise a distributed randomized constant-time algorithm for computing strong $(O(1), O(n^ε))$-network-decompositions. As a corollary we derive a constant-time randomized $O(n^ε)$-approximation algorithm for the distributed minimum coloring problem, improving the previously best-known $O(n^{1/2 + ε})$ approximation guarantee. We also derive other improved distributed algorithms for a variety of problems. Most notably, for the extremely well-studied distributed minimum dominating set problem currently there is no known deterministic polylogarithmic-time algorithm. We devise a {deterministic} polylogarithmic-time approximation algorithm for this problem, addressing an open problem of Lenzen and Wattenhofer (2010).

研究の動機と目的

• 従来の定数時間手法と比較して、はるかに優れた色数を達成する定数時間分散アルゴリズムを、強ネットワーク分解のために開発すること。
• 分散ネットワークにおける最小支配集合問題に対する決定的多項式対数時間近似アルゴリズムの設計という未解決問題に取り組むこと。
• 従来の最高の $O(n^{1/2+\theta})$ の保証を超えて、分散最小彩色問題の近似比を改善すること。
• 新しいネットワーク分解フレームワークを用いて、多数の基本的分散問題に対する効率的な定数時間解法を可能にすること。

提案手法

• 低直径クラスタと色数の上限を保証する確率的色分けスキームを用いて、反復的にクラスタを構築する。
• 局所的計算とメッセージパッシングの複数ラウンドを経て、定数強直径のクラスタに頂点をグループ化する階層的クラスタリングプロセスを採用する。
• クラスタの超グラフが $O(n^{\theta})$-彩色可能であるように、頂点をクラスタに割り当てる新しい確率的分割戦略を用いる。
• パラメータ $\theta$ を用いた再帰的分解技術を適用し、クラスタ直径と色数のトレードオフを制御することで、定数実行時間を達成する。
• 各クラスタの近傍は独立して処理可能であるという事実を活用し、並列実行と定数時間収束を実現する。
• 局所的支配集合を計算するために、集中型の多項式時間近似アルゴリズム（例：集合被覆）を統合し、近似比の上限を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の定数 $\theta > 0$ に対して、定数クラスタ直径と $O(n^{\theta})$ 色を持つ強ネットワーク分解を、定数分散時間で計算可能か？
• RQ2 この改善されたネットワーク分解は、分散最小彩色問題のより良い近似アルゴリズムをもたらすか？
• RQ3 この新しい分解技術を用いて、最小支配集合問題に対する決定的多項式対数時間近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 このフレームワークは、改善された近似比を達成する定数時間近似を $t$-スパーンナ問題に適用可能か？

主な発見

• 本稿では、任意の定数 $\theta > 0$ に対して、$\exp\{O(1/\theta)\}$ 時間で強 $(O(1), O(n^{\theta}))$-ネットワーク分解を計算する確率的分散アルゴリズムを提示する。これにより、定数実行時間が達成される。
• これは、従来の定数時間アルゴリズムが $O(n^{1/2+\theta})$ 色を必要としていたのに対し、$O(n^{\theta})$ 色にまで色数を削減したという点で、顕著な改善である。
• 系として、本稿では分散最小彩色問題に対する定数時間確率的 $O(n^{\theta})$-近似アルゴリズムを獲得し、従来の $O(n^{1/2+\theta})$ の保証を上回る。
• このフレームワークにより、最小支配集合問題に対する決定的多項式対数時間近似アルゴリズムが可能となり、Lenzenと Wattenhofer (2010) が提起した未解決問題が解決された。
• 本手法により、$\exp\{O(k)\} + O(t)$ の確率的時間で $t$-スパーンナ問題に対する $O(n^{1/k})$-近似が得られ、局所計算は多項式時間である。
• 局所的部分問題（例：クラスタ内の支配集合）に対して、集中型の $O(\log \Delta)$-近似技術を用いることで、近似比の上限を保証しつつ、全体の実行時間を増加させない。