[論文レビュー] Polynomial Lower Bound for Distributed Graph Coloring in a Weak LOCAL Model

Dan Hefetz, Fabian Kühn+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ノードが隣接ノードからのメッセージを個々のメッセージではなく集合として受信する弱いLOCALモデル（SET-LOCAL）において、決定的分散グラフ彩色アルゴリズムの実行時間に対する多項式下界 Ω(Δ^(1/3−η/3)) を確立する。この結果は、O(Δ^{1+η})-彩色を適切な彩色に削減するアルゴリズムに適用され、下界を確立するために再帰的近傍グラフ解析を用いる。本研究は、分散彩色の複雑さについて新たな知見を提供する。

ABSTRACT

We show an $Ω\big(Δ^{\frac{1}{3}-\fracη{3}}\big)$ lower bound on the runtime of any deterministic distributed $\mathcal{O}\big(Δ^{1+η}\big)$-graph coloring algorithm in a weak variant of the \LOCAL\ model. In particular, given a network graph \mbox{$G=(V,E)$}, in the weak \LOCAL\ model nodes communicate in synchronous rounds and they can use unbounded local computation. We assume that the nodes have no identifiers, but that instead, the computation starts with an initial valid vertex coloring. A node can extbf{broadcast} a extbf{single} message of extbf{unbounded} size to its neighbors and receives the extbf{set of messages} sent to it by its neighbors. That is, if two neighbors of a node $v\in V$ send the same message to $v$, $v$ will receive this message only a single time; without any further knowledge, $v$ cannot know whether a received message was sent by only one or more than one neighbor. Neighborhood graphs have been essential in the proof of lower bounds for distributed coloring algorithms, e.g., \cite{linial92,Kuhn2006On}. Our proof analyzes the recursive structure of the neighborhood graph of the respective model to devise an $Ω\big(Δ^{\frac{1}{3}-\fracη{3}}\big)$ lower bound on the runtime for any deterministic distributed $\mathcal{O}\big(Δ^{1+η}\big)$-graph coloring algorithm. Furthermore, we hope that the proof technique improves the understanding of neighborhood graphs in general and that it will help towards finding a lower (runtime) bound for distributed graph coloring in the standard \LOCAL\ model. Our proof technique works for one-round algorithms in the standard \LOCAL\ model and provides a simpler and more intuitive proof for an existing $Ω(Δ^2)$ lower bound.

研究の動機と目的

• 弱いLOCALモデルの一種であるSET-LOCALモデルにおける決定的分散グラフ彩色アルゴリズムの実行時間に対する多項式下界を確立すること。
• メッセージ集約（メッセージ集合受信）が分散システムにおけるグラフ彩色の複雑さに与える影響を分析すること。
• 標準LOCALモデルの下界に一般化可能な、再帰的近傍グラフ構造に基づく新しい証明技法を提供すること。
• 無制限の局所計算と初期彩色が可能であっても、SET-LOCALモデルでは決定的彩色が本質的に遅いことを示すこと。

提案手法

• SET-LOCALモデルにおける近傍グラフの再帰的構造を分析し、アルゴリズム実行時間の下界を導出する。
• ノードが隣接ノードからのメッセージを個々のメッセージではなく集合として受信するモデルを採用し、隣接ノードの識別子情報の喪失をシミュレートする。
• 組合せ的議論を用いて、特定の構成が Ω(Δ^(1/3−η/3)) ラウンド未満では解けないことを示す。
• LinialのアルゴリズムおよびKuhn-Wattenhoferの彩色削減に関する先行研究の技法を、SET-LOCAL設定に適応する。
• 標準LOCALモデルにおける1ラウンドアルゴリズムが、d-欠損彩色に於いて Ω(Δ²) 色を必要とするのを証明し、欠損彩色の下界に拡張する。
• Erdős型の組合せ的結果を用いて、彩色選択時に非衝突色の空でない集合が保証されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノードが隣接ノードからのメッセージ集合のみを受信するSET-LOCALモデルにおいて、決定的分散グラフ彩色に必要な最小ラウンド数は何か？
• RQ2 近傍グラフの再帰的構造を用いて、弱い通信モデルにおける彩色アルゴリズムの多項式下界を導出可能か？
• RQ3 メッセージ集合への集約により隣接ノードの識別子情報が失われる状況が、分散彩色の複雑さに与える影響は何か？
• RQ4 本証明技法は、標準LOCALモデルにおける1ラウンドアルゴリズムの下界を導出するために拡張可能か？
• RQ5 標準LOCALモデルにおける1ラウンドd-欠損彩色に必要な最小色数は何か？

主な発見

• 本稿は、SET-LOCALモデルにおける任意の決定的分散O(Δ^{1+η})-彩色アルゴリズムの実行時間に対して、下界 Ω(Δ^(1/3−η/3)) を確立する。
• ノードが無制限の局所計算を実行可能であり、初期に有効な彩色を保持している場合でも、この下界は成立する。
• 証明技法により、標準LOCALモデルにおける1ラウンド彩色の既知の Ω(Δ²) 下界が、より単純かつ直感的な導出が可能になる。
• 標準LOCALモデルにおける1ラウンドd-欠損彩色では、入力彩色に十分に多くの色が使われている場合、Ω(Δ²/(d+1)²) 色が必要である。
• Kuhn-Wattenhoferの彩色削減スキームは、近傍の色集合の知識のみを必要とするため、SET-LOCALモデルでも変更なしに適用可能である。
• LinialのO(log* m)-ラウンドO(Δ²)-彩色アルゴリズムは、SET-LOCALモデルでも有効である。これは、メッセージ集合の内容に依存するだけで、個々のメッセージ数に依存しないからである。