[論文レビュー] The logarithmic least squares optimality of the geometric mean of weight vectors calculated from all spanning trees for (in)complete pairwise comparison matrices

Sándor Bozóki, Vitaliy Tsyganok|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Multi-Criteria Decision Making参考文献 47被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全または不完全なペアワイズ比較行列のすべてのスパニングツリーから得られる重みベクトルの幾何平均が、対数最小二乗問題の最適解をもたらすことを確立している。この手法は、事前の距離計測の仮定を避けるためにスパニングツリーを利用するもので、すべての此类の行列において、対数最小二乗誤差を最小化する唯一の解が幾何平均であることを証明している。

ABSTRACT

Pairwise comparison matrices, a method for preference modelling and quantification in multi-attribute decision making and ranking problems, are naturally extended to the incomplete case, offering a wider range of applicability. The weighting problem is to find a weight vector that reflects the decision maker's preferences as well as possible. The logarithmic least squares problem has a unique and simply computable solution. The spanning tree approach does not assume any metric in advance, instead it goes through all minimal sufficient subsets (spanning trees) of the set of pairwise comparisons, then the weight vectors are aggregated. It is shown that the geometric mean of weight vectors, calculated from all spanning trees, is the optimal solution of the well known logarithmic least squares problem, not only for complete, as it was recently proved by Lundy, Siraj and Greco, but for incomplete pairwise comparison matrices as well.

研究の動機と目的

• 意思決定者がペアワイズ比較を通じて好みを提示する、ペアワイズ比較行列における重み付け問題に対処すること。
• 現実の意思決定において一般的に見られる不完全な行列へ、対数最小二乗法の適用範囲を拡張すること。
• すべてのスパニングツリーからの重みベクトルの幾何平均が、対数最小二乗基準の下で最適解を提供することを示すこと。
• スパニングツリーに基づく重み付けの理論的基盤を、広く知られている対数最小二乗法と統合し、完全および不完全な両ケースにおいて同等であることを示すこと。

提案手法

• ペアワイズ比較行列のグラフ表現から、すべてのスパニングツリーを構築する。ここでノードは代替案を、エッジはペアワイズ比較を表す。
• 各スパニングツリーに対して、対数最小二乗法を用いて重みベクトルを計算し、ツリー構造内での一貫性を保証する。
• 最終的な重みベクトルは、すべてのスパニングツリーから得られた個々の重みベクトルの幾何平均として得られる。
• このアプローチは事前の定められた距離計測を必要とせず、最小十分な部分集合（スパニングツリー）の組み合わせ的列挙に依存する。
• 理論的分析により、この幾何平均ベクトルが、すべての可能な重みベクトルのうち、対数最小二乗誤差関数を最小化することが証明されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのスパニングツリーからの重みベクトルの幾何平均は、不完全なペアワイズ比較行列に対し、対数最小二乗問題を解くか？
• RQ2 スパニングツリー法は完全な行列を超えて拡張可能であり、対数最小二乗基準の下で最適性を保つのか？
• RQ3 不完全な行列の文脈において、幾何平均ベクトルは対数最小二乗誤差の唯一の最小化者か？
• RQ4 理論的最適性と計算上の実行可能性の観点から、スパニングツリー法は他の重み付け手法とどのように比較されるか？

主な発見

• すべてのスパニングツリーからの重みベクトルの幾何平均は、完全または不完全ないかなるペアワイズ比較行列に対しても、対数最小二乗誤差を最小化する唯一の解である。
• この手法は、事前の距離構造の仮定を一切せず、スパニングツリーの組み合わせ的性質にのみ依存して最適性を達成する。
• 従来、完全な行列に対してのみ証明されていた結果を、不完全な行列に対しても同様の最適性が成立することを示すことで、前例の拡張を達成している。
• スパニングツリー法は、好みのモデリングにおける従来の重み付け手法に対する理論的裏付けが強く、計算上も実行可能な代替手法を提供する。