[論文レビュー] The low-dimensional structures that tricategories form

Richard Garner, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、まず三圏とそのホモモーフィズムを二圏にまとめる。その後、それを局所的二重二圏に豊かにすることで、三元的圏的構造を構成する。すべての適切に振る舞う局所的二重二圏が三圏を導くことを証明することで、三圏の対象が三圏であり、その射が三圏ホモモーフィズムであるような三圏の存在を確立する。

ABSTRACT

We form tricategories and the homomorphisms between them into a bicategory. We then enrich this bicategory into an example of a three-dimensional structure called a locally double bicategory, this being a bicategory enriched in the monoidal 2-category of weak double categories. Finally, we show that every sufficiently well-behaved locally double bicategory gives rise to a tricategory, and thereby deduce the existence of a tricategory of tricategories.

研究の動機と目的

• 三圏とそのホモモーフィズムの集まりを高次元の圏的構造として形式化すること。
• 適切な2-セルの構成のもとで、三圏が自然に二圏をなすことを示すこと。
• この二圏を、弱い2-圏における高次元の整合性を捉える構造である局所的二重二圏に豊かにすること。
• 十分に良い性質を持つ任意の局所的二重二圏が三圏を導くことを示し、三圏の三圏の構成を可能にすること。
• 対象が三圏であり、射が強いホモモーフィズムであり、2-セルがそれらの間の変換であるような、明確に定義された三圏の存在を確立すること。

提案手法

• ホモモーフィズム間の変換として適切な2-セルを定義することで、三圏とそのホモモーフィズムから二圏を構成すること。
• 弱い二重圏のモノイダル2-圏においてこの二圏を豊かにし、局所的二重二圏を得ること。
• 弱い二重圏の整合性理論を用いて、豊かさが三圏的構造を尊重することを保証すること。
• 任意の適切に振る舞う局所的二重二圏に対して三圏を割り当てる一般的構成を適用すること。
• 得られた三圏が、合成と単位の整合性条件を含め、三圏の公理を満たすことを検証すること。
• この構成が函手的であり、三圏間の意図された圏的関係を保つことを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三圏とそのホモモーフィズムの集まりは、高次元の圏的構造として整理可能か？
• RQ2 三圏の二圏は、構造的に高次元の整合性を捉えるためにどのように豊かにできるか？
• RQ3 局所的二重二圏が三圏を導くために必要な条件は何か？
• RQ4 対象が三圏であり、射が三圏ホモモーフィズムであるような明確に定義された三圏は存在するか？
• RQ5 弱い二重圏は、三圏的構造を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 三圏とそのホモモーフィズムの二圏は、自然に局所的二重二圏に豊かにできる。
• 十分に良い性質を持つ任意の局所的二重二圏は、三圏を導くことができ、一般の構成原理を提供する。
• この構成によって、三圏の三圏の存在が確立され、高次圏論における基礎的問題が解決される。
• この構成は、三圏間の意図された圏的関係、特に合成と整合性データを保つ。
• この方法は、弱い二重圏的構造から三圏を体系的に生成する手段を提供する。
• 結果として、三圏が整合的な高次元圏を形成することを確認でき、高次元代数や幾何学における応用を支持する。