[論文レビュー] The maps of matrices and portrait maps of density operators of composite and noncomposite systems

Margarita A. Man’ko, V. I. Manʹko|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の $N \times N$ ヘルミート行列に対して定義される新しい線形写像「マトリクス・ポートレート」を導入し、部分トレース操作を一般化する。これにより、合成系および非合成系の両方の量子系に対して有効な新しいエントロピー不等式が導出され、特に単一のクイディット状態に対しても、もはや多部構成系に限定されないエンタングルメントに類似した相関関係や、部分加法性の性質が顕在することが示された。これは、従来のエンタングルド部分系に限らない、量子情報処理のためのリソースを拡張するものである。

ABSTRACT

We obtain a new inequality for arbitrary Hermitian matrices. We describe particular linear maps called the matrix portrait of arbitrary NxN matrices. The maps are obtained as analogs of partial tracing of density matrices of multipartite qudit systems. The structure of the maps is inspired by "portrait" map of the probability vectors corresponding to the action on the vectors by stochastic matrices containing either unity or zero matrix elements. We obtain new entropic inequalities for arbitrary qudit states including a single qudit and an discuss entangled single qudit state. We consider in detail the examples of N=3 and 4. Also we point out a possible use of entangled states of systems without subsystems (e.g., a single qudit) as a resource for quantum computations.

研究の動機と目的

• 新しい線形写像「マトリクス・ポートレート」として、任意のヘルミート行列に対する部分トレースの概念を一般化すること。
• 既知の部分加法性および強い部分加法性条件を拡張し、任意の $N \times N$ ヘルミート行列に対して有効な新しいエントロピー不等式を導出すること。
• 通常は多部構成系に結びついているとされるエンタングルメントに類似した相関関係やエントロピー不等式が、単一クイディット状態に対しても成立することを示すこと。
• エンタングルド単一クイディット状態が、多部構成エンタングルド状態と同様に、量子計算のリソースとして利用可能かどうかを検討すること。
• マトリクス・ポートレートと線形写像に基づく共通の形式的枠組みを通じて、合成系および非合成系の両方における量子相関の数学的構造を統一すること。

提案手法

• マトリクス・ポートレート写像 $\Phi(A)$ は、$N \times N$ ヘルミート行列 $A$ をブロック対角行列構造に線形変換するもので、部分トレース操作にインspiredされている。
• 因子可能な次元 $N = nm$ の場合、行列 $B$ と $C$ を構築し、$A$ を高次元空間に埋め込むことで、エントロピー不等式の導出を可能にする。
• ボルツマン・フォン・ノイマンエントロピーおよび $q$-エントロピー形式を、ポートレート行列に適用することで、トレース対数表現を含む不等式を導出する。
• $N=3$ および $N=4$ の明示的例を通じて、形式的枠組みの妥当性を検証し、$A$ がトレースが 1 で固有値が非負の密度行列である場合、不等式は既知の部分加法性条件に還元される。
• 高次元空間への埋め込みを用いて、単一クイディット状態における一般化されたエントロピー不等式およびベルに類似した不等式を拡張する。
• $N = \prod N_k$ の場合、チェーン写像を繰り返し適用可能であり、複雑な行列構造の再帰的解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分加法性や強い部分加法性といったエントロピー不等式は、合成系に限定されず、単一クイディット状態に対しても一般化可能か？
• RQ2 部分系を有さないにもかかわらず、単一クイディット系がエンタングルメントに類似した相関関係を示すことは可能か？ その場合、数学的にどのように形式化できるか？
• RQ3 実際の分解が存在しない状況において、マトリクス・ポートレート写像が、単一の $N \times N$ 行列から部分系に類似した振る舞いを抽出する普遍的ツールとして機能できるか？
• RQ4 この形式的枠組みを用いて、分離可能状態とエンタングルド状態の両方の単一クイディット状態間の量子チャネル変換を一貫して定義可能か？
• RQ5 同じ数学的構造を用いて、合成系および非合成系の両方において、エンタングルメントおよび相関関係を一様に適用可能か？

主な発見

• 任意のヘルミート行列に対して、式 (37) で与えられる新しい行列不等式が導出された。これは、既知の部分加法性条件を一般化するものである。
• マトリクス・ポートレート写像 $\Phi(A)$ は、部分トレースに類似した線形変換を提供し、単一の行列から部分系に類似した振る舞いを抽出可能である。
• $N=3$ および $N=4$ の場合、行列がトレースが 1 で非負の固有値を持つ有効な密度行列であるとき、導出された不等式は既知の部分加法性条件に還元される。
• 形式的枠組みにより、単一クイディット状態におけるフォン・ノイマンエントロピーおよび $q$-エントロピーのエントロピー不等式が導出可能となり、これは従来は合成系に限定されていた結果を拡張する。
• 本研究では、特に $2j+1 = 2^N$ を満たすエンタングルド単一クイディット状態が、$N$-キュービット系と同様に、量子計算の実用的リソースとして有効であることが示された。
• $N = \prod N_k$ の場合、チェーン写像の構築が可能であり、複雑な行列分解の再帰的解析が可能となり、強い部分加法性が任意のヘルミート行列に一般化された。