[論文レビュー] The maximum size of $L$-functions

David W. Farmer, S. M. Gonek+1 more|ArXiv.org|Jun 11, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ランダム行列理論、モーメント予想、素数の確率的モデルを用いて、臨界線上のL関数の最大サイズの真の増加率を予想している。最大値 |ζ(1/2 + it)| の増加は exp((1+o(1))√(½ log T log log T)) と予想され、『1か2か？』問題における下位項が正しいという見解を支持する。対称性タイプに基づく他のL関数族に対しても同様の結果が得られる。

ABSTRACT

We conjecture the true rate of growth of the maximum size of the Riemann zeta function and other $L$-functions. We support our conjecture using arguments from random matrix theory, conjectures for moments of $L$-functions, and also by assuming a random model for the primes.

研究の動機と目的

• 臨界線上におけるL関数、特にリーマン・ゼータ関数の最大サイズの真の増加率を特定すること。
• 解析的数論における『1か2か？』問題を解消すること。現在のOおよびΩの境界は、指数の対数的パワーにおいて2倍の差がある。
• 導出数の成長に基づいて、ユニタリ、シンプレクティック、直交といった異なる対称性タイプを持つL関数族への予想の拡張。
• ランダム行列理論と算術係数の確率的モデルを用いて、L関数の臨界値の最大サイズを統一的枠組みで扱うこと。
• S(t)およびL関数値の増加率に関する予想が、楕円曲線のランクや零点分布に与える影響を検討すること。

提案手法

• 素数に関する積と非自明な零点に関する積を用いたζ(s)の厳密な近似を用い、後者をランダムユニタリ行列の特徴多項式でモデル化する。
• 零点関連の積をランダム行列理論でモデル化し、零点の分布がランダムユニタリ行列の固有値と同様に振る舞うと仮定する。
• グランビルとサウンドラジャジャンの研究に基づく確率的モデルを用いて、乗法的係数の不規則な振る舞いを捉える。
• 2つのモデルを組み合わせ、極値解析を用いて |ζ(1/2 + it)| の最大値を推定し、予想される増加率を導出する。
• 導出数の成長に基づいて、ユニタリ、シンプレクティック、直交といった対称性タイプに応じて、異なる定数Bを指数に割り当てることで、一般のL関数族への手法の拡張を行う。
• 大偏差理論とランダム行列多項式のモーメント母関数を用いて、最大モジュラスの尾確率を推定し、予想される漸近的挙動に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 O境界とΩ境界の間のギャップを踏まえた場合、臨界線上におけるリーマン・ゼータ関数の最大値の真の増加率は何か？
• RQ2 『1か2か？』問題において、指数の下位項が正しい、すなわち指数の定数が2よりも1に近いかどうか？
• RQ3 導出数を介して、L関数の最大サイズが、その族の対称性タイプ（ユニタリ、シンプレクティック、直交）にどのように依存するか？
• RQ4 ζ(1/2 + it) に対する予想される増加率を、ディリクレL関数や尖点形式のL関数といった他のL関数へ一般化できるか？
• RQ5 予想される増加率が、L関数の最大の零点の重複度および楕円曲線のランクに与える影響は何か？

主な発見

• t ∈ [0, T] における |ζ(1/2 + it)| の最大値は、exp((1+o(1))√(½ log T log log T)) のように増加すると予想され、『1か2か？』問題における『1』を支持する。
• 零点数え関数の誤差項 S(t) について、limsup S(t)/√(log t log log t) は 1/(π√2) になると予想され、ランダム行列予想と整合的である。
• 導出数 c(F) を持つL関数族に対して、|F(1/2)| の最大サイズは、exp((1+o(1))√(B log D log log D)) のように増加すると予想される。ここで B = 1/2 はユニタリ族、B = 1 はシンプレクティックおよび直交族に対応する。
• この予想は特定の族に適用可能である。実数の原始的ディリクレ指標 χ_d に対して、|d| ≤ D の範囲で max|L(1/2, χ_d)| ≈ exp((1+o(1))√(log D log log D)) と予想される。
• レベルN、重みkの正則尖点形式fに対して、kN ≤ D の範囲で |L(k/2, f)| の最大サイズは、exp((1+o(1))√(log D log log D)) のように増加すると予想される。
• この予想は、Q上の楕円曲線のランクのlimsupが、導出数を正規化した上で √(log c_E log log c_E) のように増加すると示唆し、ランク成長に対する対数的上界を示唆する。