[論文レビュー] The Merton Problem with a Drawdown Constraint on Consumption

Thankom Arun|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、消費が歴史的最高水準の固定割合以上に下がらないというドローダウン制約を導入することで、古典的なメルトン問題を拡張している。確率的最適制御および双対性手法を用いて、CRRA効用関数下での最適消費およびポートフォリオ政策の明示的解を導出し、資産対最大消費比に基づく4つの異なる行動的領域を特定した。最適性は厳密な検証議論により確認された。低リスク回避性（R ≤ R∗）では、問題が不適切（ill-posed）となり、無限の期待効用が得られる可能性がある。

ABSTRACT

In this paper, we work in the framework of the Merton problem but we impose a drawdown constraint on the consumption process. This means that consumption can never fall below a fixed proportion of the running maximum of past consumption. In terms of economic motivation, this constraint represents a type of habit formation where the investor is reluctant to let his standard of living fall too far from the maximum standard achieved to date. We use techniques from stochastic optimal control and duality theory to obtain our candidate value function and optimal controls, which are then verified.

研究の動機と目的

• 消費がその走査最大値の固定割合以上に下がらないというドローダウン制約下で、連続時間における最適消費およびポートフォリオ選択問題をモデル化・解明すること。
• 投資家が過去のピーク水準以下に消費を減らすのを避けたいという習慣形成の要因を、メルトンフレームワークに組み込むこと。
• 走査最大値に起因する非マルコフ的制約（非マルコフ的制約）を導入することで、古典的なメルトン問題を拡張し、双対性および検証技術を用いて明示的解を導出すること。
• 問題が不適切（ill-posed）になる臨界閾値 R∗ を特定し、特定の戦略のもとで無限の期待効用が得られる条件を同定すること。

提案手法

• リスクフリー資産と幾何 Browndian 動的を示すリスク資産を持つ標準的なブラック＝ショールズ市場で問題を定式化する。
• ドローダウン制約を課す：ct ≥ b sup₀≤s≤t cs（b ∈ (0,1)）、習慣形成をモデル化する。
• CRRA効用関数下で双対定式化を用い、制約付き問題をより取り扱いやすい非制約付き問題に変換し、明示的な解析的解を得る。
• 確率的最適制御およびハミルトニアン・ジャコビ＝ベルマン（HJB）技術を用いて、候補となる価値関数および最適制御を導出する。
• Dybvig（1995）にインspiredされた検証議論を、ドローダウン制約に適応させ、候補解の最適性を厳密に証明する。
• 状態空間を、資産対過去消費の走査最大値比に基づき4つの領域に分割することで、最適政策の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 消費がその歴史的最高水準の固定割合以上に下がらないというドローダウン制約を導入すると、メルトンフレームワーク下での最適ポートフォリオおよび消費政策にどのように影響を与えるか？
• RQ2 このような制約下での最適制御方策の構造的性質は何か？ また、標準的なメルトン解とはどのように異なるか？
• RQ3 双対定式化は、経路に依存する制約を伴うこの種の非マルコフ的最適制御問題に対して効果的に適用可能か？
• RQ4 相対的リスク回避度の係数 R に対して、どのような条件下で問題が適切（well-posed）となり、また無限の期待効用が得られるか？
• RQ5 問題が不適切（ill-posed）になる臨界閾値 R∗ は何か？ また、モデルパラメータの観点から、どのように特徴づけられるか？

主な発見

• 最適消費およびポートフォリオ政策は、現在の資産対過去消費の走査最大値比に基づき、4つの明確な行動的領域に分類される。
• 資産対最大消費比が低い場合、消費はドローダウン制約の下で許容される最小水準に制約される。
• 比が上昇すると、消費は資産に比例して増加し、標準的な消費ルールが反映される。
• 第3の領域では、消費は最高記録水準を維持しつつ、資産対最大消費比が臨界閾値に達するのを待つ。その後、消費は新たな最大値に引き上げられる。
• R ≤ R∗ の場合、問題は不適切（ill-posed）となり、特定の戦略により無限の期待効用が得られる。
• 臨界閾値 R∗ は明示的に特徴づけられ、双対過程の長期的成長率が非正となる条件に対応しており、標準的なメルトン問題における既知の結果と整合する。