[論文レビュー] The Minimal Model Program for the Hilbert Scheme of Points on P^2 and Bridgeland Stability

Daniele Arcara, Aaron Bertram+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、射影平面の点のヒルベルトスキーム $\pi^{2[n]}$ におけるミニマルモデルプログラム（MMP）のフリップと、ブリッジランド安定性条件における壁交叉の間の明確な対応を確立する。MMPによって得られる $\pi^{2[n]}$ の双有理モデルは、すべてモジュラーであることが示され、これらはクオータの表現のGIT商として構成されたブリッジランド半安定対象をパラメトライズする。$n \leq 9$ に対して、安定基底 locus分解と壁を明示的に計算する。主な貢献は、$n \leq 9$ の範囲で、ブリッジランド安定性の壁とモーリー錐の壁交叉の間の完全な辞書を提供することであり、フリップと除法的収縮の明示的記述を含む。

ABSTRACT

In this paper, we study the birational geometry of the Hilbert scheme of n points on P^2. We discuss the stable base locus decomposition of the effective cone and the corresponding birational models. We give modular interpretations to the models in terms of moduli spaces of Bridgeland semi-stable objects. We construct these moduli spaces as moduli spaces of quiver representations using G.I.T. and thus show that they are projective. There is a precise correspondence between wall-crossings in the Bridgeland stability manifold and wall-crossings between Mori cones. For n at most 9, we explicitly determine the walls in both interpretations and describe the corresponding flips and divisorial contractions.

研究の動機と目的

• ヒルベルトスキーム $\mathbb{P}^{2[n]}$ の双有理幾何をミニマルモデルプログラム（MMP）を用いて理解すること。
• ブリッジランド安定性多様体における壁交叉と $\mathbb{P}^{2[n]}$ のモーリー錐における壁交叉との対応を確立すること。
• $\mathbb{P}^{2[n]}$ の双有理モデルが、ブリッジランド半安定対象のモジュライ空間としてのモジュラー解釈を与えられることを示すこと。
• これらのモジュライ空間をクオータの表現のGIT商として明示的に構成し、その射影的であることの証明。
• $n \leq 9$ に対して、安定基底 locus分解と壁を明示的に計算し、フリップと除法的収縮を含むこと。

提案手法

• 著者たちは $\mathbb{P}^{2[n]}$ に対してミニマルモデルプログラム（MMP）を実行し、有限な安定基底 locus分解を持つモーリー・ドリーム空間であることを示した。
• 有効な除数 $D_E(n)$ を定義し、これらは $\mathbb{P}^2$ 上のスティーナー束 $E$ の断面に独立な条件を課せない部分スキームをパラメトライズする。これらの除数は安定基底 locus分解における壁をなす。
• $D^b(\text{coh} \, \mathbb{P}^2)$ 上のブリッジランド安定性条件を用い、壁を $(s,t)$-平面上の半円として特定した。$n=9$ の場合、中心が $x = -\frac{19}{2}, -\frac{17}{2}, \dots, -\frac{9}{2}$ に位置する。これらは $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)$, $\mathcal{I}_p(-1)$, $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-3)$ のような不安定化対象に対応する。
• ブリッジランド半安定対象のモジュライ空間をクオータの表現のGIT商として構成し、これらが射影的代数的多様体であることを証明した。
• $n \leq 9$ の場合、ブリッジランド安定性多様体とモーリー錐の両方における壁を明示的に計算し、両者の壁集合の間の一対一対応を示した。
• 最終のチャネルにおける安定基底 locus が、3次曲線に独立な条件を課せない9次スキームの集合であり、2つの3次曲線の完全交差を除くことを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブリッジランド安定性多様体における壁交叉は、$\mathbb{P}^{2[n]}$ のMMPにおけるフリップや除法的収縮とどのように対応するか？
• RQ2 $n \leq 9$ の場合、$\mathbb{P}^{2[n]}$ の有効なコーンの安定基底 locus分解の正確な構造は何か？
• RQ3 MMPによって得られる $\mathbb{P}^{2[n]}$ の双有理モデルは、ブリッジランド半安定対象のモジュライ空間としてのモジュラー解釈を与えられるか？
• RQ4 これらのモジュライ空間は、射影的であることを保証するために、クオータの表現のGIT商としてどのように明示的に構成できるか？
• RQ5 $\mathbb{P}^{2[9]}$ の安定基底 locus分解の最終チャネルにおける安定基底 locus は何か？

主な発見

• $n \leq 9$ の場合、$\mathbb{P}^{2[n]}$ の有効コーンの安定基底 locus分解は、有理的多面体的コーンへの有限分解であり、著者たちは $n \leq 9$ に対してすべての壁を明示的に特定した。
• $\mathbb{P}^{2[n]}$ の有効コーンは、境界除数 $B$ と $n = \frac{r(r+1)}{2} + s$ のときの除数 $D_E(n)$ で張られる。ここで $s/r$ または $1 - \frac{s+1}{r+2}$ は、黄金比やフィボナッチ比に関連する集合に属する。
• 著者たちは、クオータの表現のGIT商としてブリッジランド半安定対象のモジュライ空間を構成し、これらが射影的代数的多様体であることを証明した。
• ブリッジランド安定性多様体における壁交叉とモーリー錐における壁交叉の間には、明確な一対一対応がある。両者の壁は、$(s,t)$-平面上の半円としてパラメトライズされる。
• $n=9$ の場合、最終チャネルにおける安定基底 locus は、3次曲線に独立な条件を課せない9次スキームの集合であり、2つの3次曲線の完全交差を除く。
• 2つの3次曲線の完全交差は、最終チャネルの安定基底 locus に属さない。これは、これらのスキームが $E_k$ の断面に独立な条件を課すためである。$E_k$ が生成する半直線 $H - \frac{k}{6k+2}B$ は $k \to \infty$ のとき $H - \frac{1}{6}B$ に近づく。