[論文レビュー] The Moduli Space of N = 2 Superconformal Field Theories

Paul S. Aspinwall|ArXiv.org|Dec 12, 1994

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 43被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、中心電荷 c=3d で d=1,2,3 の N=2 超共形場理論（SCFT）のモジュライ空間を分析するフレームワークを開発する。d≥3 では代数幾何学が不可欠であることが示され、ミラー対称性と線形スカラー・モデルを用いて、ケーラー・モジュライ（Aモデル）と複素構造モジュライ（Bモデル）を関連づけ、q5 や z5 のようなパラメータの解析接続によって、相転移やフロップ転移を明らかにする。

ABSTRACT

We review the structure of the moduli space of particular N = (2,2) superconformal field theories. We restrict attention to those of particular use in superstring compactification, namely those with central charge c = 3d for some integer d and whose NS fields have integer U(1) charge. The cases d = 1, 2 and 3 are analyzed. It is shown that in the case d >= 3 it is important to use techniques of algebraic geometry rather than rely on metric-based ideas. The phase structure of these moduli spaces is discussed in some detail. (Lectures Delivered at Trieste Summer School, 1994.)

研究の動機と目的

• NS フィールドに整数 U(1) charge を持つ N=(2,2) 超共形場理論のモジュライ空間を理解すること。
• d≥3 の場合に一般の N=2 SCFT において計量に基づくアプローチが失敗することを示し、代数幾何学的手法の必要性を示すこと。
• 特に Aモデル（ケーラー）と Bモデル（複素構造）成分を含むモジュライ空間の相構造を分析すること。
• 線形スカラー・モデルを、モジュライ空間の幾何的解釈とミラー対称的解釈を結ぶ橋渡しとして用いること。
• フロップ転移と解析接続が、モジュライパラメータを介して異なるカーバー・ヤウ位相を関連付ける役割を明確にすること。

提案手法

• U(1)^s ユーザー群を用いた線形スカラー・モデルを N=2 SCFT を記述するために用い、ファイエット–イルリオポリスパラメータ r_l を用いてモジュライ空間をパラメータ化する。
• ミラー対称性に依存して Aモデル（ケーラー・モジュライ）と Bモデル（複素構造モジュライ）を関連づけ、ミラーマップを用いてモジュライ空間を計算可能にする。
• ピカール–フック微分方程式を用いて、量子パラメータ q_l を複素構造座標 z_l に関連づけ、特に d=3 のカーバー・ヤウ3次元多様体に対して有効である。
• フェーズ境界を越えた解析接続を用いて、大半径極限やフロップ転移のような異なる幾何的フェーズを関連付ける。
• 有理曲線（例：C1 と C2）がフロップ転移下でどのように振る舞うかを分析し、解析接続により面積パラメータが J1 = -J2 と変換されることを示す。
• r_l 空間（実数モジュライ）を J_l 空間（ケーラー形式の面積）に写像し、カーバー・ヤウ錐の内部または境界上にある点のみが物理的で正の面積を持つ幾何を表すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量に基づく手法が失敗する場合に、c=3d の N=2 SCFT のモジュライ空間を体系的に分析する方法は何か？
• RQ2 d≥3 の N=2 SCFT のモジュライ空間を記述するにあたり、代数幾何学が果たす役割は何か？
• RQ3 フロップ転移のような相転移が、N=2 SCFT のモジュライ空間にどのように現れるか？
• RQ4 線形スカラー・モデル、ミラー対称性、およびモジュライパラメータの物理的解釈との関係は何か？
• RQ5 すべての N=2 SCFT がゲージ化線形スカラー・モデルで記述可能か？このアプローチの限界は何か？

主な発見

• d≥3 の場合、インスタントン効果と相転移のため、計量に基づく手法が失敗するため、代数幾何学がモジュライ空間の解析に不可欠である。
• N=2 SCFT のモジュライ空間は Aモデル（ケーラー）と Bモデル（複素構造）成分に分解され、Aモデルの完全な記述にはミラー対称性が必要である。
• フロップ転移は解析接続によって自然に記述される：r1=...=r4=0 のとき、X1 の有理曲線 C1 の面積は X2 の C2 の負の面積に写像され、座標再定義の下で z'5 = (z5)^{-1} となる。
• パラメータ q5 は X1 の大半径極限で z5 に一致し、ミラーマップの下で z'5 = (z5)^{-1} となる。これは、大半径フェーズのミラーが逆転したモジュライを持つ別のフェーズであることを示している。
• r_l 空間におけるカーバー・ヤウ錐の内部または境界上にある点のみが、非負の面積を持つ物理的理論を表しており、すべての r_l の配置が滑らかなカーバー・ヤウ幾何を生じるわけではない。
• 線形スカラー・モデルは幾何的フェーズとミラー的フェーズを結ぶ橋渡しを提供するが、h^{1,1}(X) > s の場合、特にゲージ群のランクに制限があるため、すべてのモジュライパラメータをこれで捉えることはできない。