[論文レビュー] The new $ u$-metric induces the classical gap topology

Amol Sasane|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異非原子的部成分を含まない複素ボレル測度のラプラス変換からなる環 𝒜₊ 上の不安定な単入力単出力プラントに対して新たに定義された ν-距離が、古典的なギャップ距離と同じ位相を誘導することを確立する。主な結果は、ν-距離とギャップ距離が安定化可能プラントの集合 𝕊(𝒜₊) 上で位相的に同値であることを証明し、ヴィノミンベの古典的結果を有理関数から無限次元系へ拡張する。

ABSTRACT

Let $\\calA_+$ denote the set of Laplace transforms of complex Borel measures $\\mu$ on $[0,+\\infty)$ such that $\\mu$ does not have a singular non-atomic part. In \\cite{BalSas}, an extension of the classical $\ u$-metric of Vinnicombe was given, which allowed one to address robust stabilization problems for unstable plants over $\\calA_+$. In this article, we show that this new $\ u$-metric gives a topology on unstable plants which coincides with the classical gap topology for unstable plants over $\\calA_+$ with a single input and a single output.

研究の動機と目的

• 𝒜₊ 上の不安定プラントに対する新しい ν-距離が、古典的なギャップ距離と同じ位相を誘導するかどうかを特定すること。
• 元来有理関数に対してのみ有効であったヴィノミンベの古典的結果を、複素ボレル測度のラプラス変換で記述される無限次元系へ拡張すること。
• 単入力単出力の不安定プラントからなる空間 𝕊(𝒜₊) 上で、ν-距離とギャップ距離の位相的同値性を確立すること。
• 結果を多入力多出力（MIMO）系へ拡張できない技術的障壁を特定すること。
• ジョルジウのギャップ距離の公式に類似した、コプライム因子分解を用いた ν-距離の別表現を提供すること。

提案手法

• バナッハ代数の文脈において、コプライム因子分解と行列差のノルムの上界を用いて、𝕊(𝒜₊) 上での ν-距離を定義する。
• 可逆元の下界をとる形で、ν-距離の別表現（命題 3.6）を導出する。
• プラントのグラフへの射影を用いて、𝕊(𝒜₊) 上でのギャップ距離を定義し、トーペリッツ作用素と巻き数を含む別表現（命題 4.9）を提示する。
• 両側不等式 d₉(p₁,p₂) ≤ dₙu(p₁,p₂) ≤ d₉(p₁,p₂)/μ_opt(p₁) を確立する。ここで μ_opt(p₁) は、安定化コントローラー c に対する μₚ₁,𝒸 の上界である。
• 𝒜 内の可逆元と巻き数 W(q) = (0,0) の性質を用いて、ν-距離における下界を安定で可逆な元に制限する。
• ‖K₀‖ ≤ 1 および μₚ₁,𝒸 とトーペリッツ作用素の逆元との関係を活用し、ギャップ距離を ν-距離で上界で抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝕊(𝒜₊) 上の新しい ν-距離は、古典的なギャップ距離と同じ位相を誘導するか？
• RQ2 有理関数の場合に知られている ν-距離とギャップ距離の位相的同値性は、𝒜₊ 上の無限次元系へ拡張可能か？
• RQ3 不安定プラントの ν-距離の定義において、巻き数と可逆性の条件が果たす役割は何か？
• RQ4 なぜこの証明は多入力多出力系へ拡張できないのか？
• RQ5 不等式鎖を構築するために不可欠な命題 4.8 の行列版が存在するか？

主な発見

• 定理 1.1 で示されるように、𝒜₊ 上の単入力単出力不安定プラントの集合上で、ν-距離とギャップ距離は同一の位相を誘導する。
• すべての p₁, p₂ ∈ 𝕊(𝒜₊) に対して不等式 d₉(p₁,p₂) ≤ dₙu(p₁,p₂) ≤ d₉(p₁,p₂)/μ_opt(p₁) が成り立ち、位相的同値性が確立される。
• ν-距離は dₙu(p₁,p₂) = inf{‖G₁ - G₂q‖_∞ : q ∈ inv(𝒜), W(q) = (0,0)} として表現され、計算可能な形をとる。
• ギャップ距離は巻き数とトーペリッツ作用素を含む別表現を有し、ν-距離との比較を可能にする。
• 証明は、dₙu(p₁,p₂) < μₚ₁,𝒸₀ を満たす安定化コントローラー c₀ の存在に依拠しており、ギャップ距離を抑え込むために適切な q₀ の構成が可能になる。
• MIMO 系への拡張が困難な主な障壁は、不等式鎖を構築するために不可欠な命題 4.8 の行列版が存在しないことにある。