[論文レビュー] The non-amenability of Schreier graphs for infinite index quasiconvex subgroups of hyperbolic groups

Ilya Kapovich|ArXiv.org|Jan 10, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 60被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、非自明な双曲的群における無限索引の準凸部分群のシュレーヤー余分類グラフが非可換であることを証明する。幾何的群論的手法、特に準地図追跡、準凸性、共役分離を用いて、このようなグラフが正のチーレル定数と1未満のスペクトル半径を持つことを確立し、ランダムウォークの瞬発性を示す。主な貢献は、双曲的設定における相対ケイリー・グラフの構造的非可換性に関する結果である。

ABSTRACT

We show that if $H$ is a quasiconvex subgroup of infinite index in a non-elementary hyperbolic group $G$ then the Schreier coset graph $X$ for $G$ relative to $H$ is non-amenable (that is, $X$ has positive Cheeger constant). We present some corollaries regading the Martin boundary and Martin compactification of $X$ and the co-growth of $H$ in $G$.

研究の動機と目的

• 非自明な双曲的群における無限索引の準凸部分群に関連するシュレーヤー余分類グラフの非可換性を確立すること。
• 双曲的群論における相対ケイリー・グラフの確率的および幾何的性質の理解を拡張すること。
• 準地図、準凸性、共役分離を用いた幾何的証明により、Følner列の存在を排除すること。
• このようなグラフが瞬発的ランダムウォークを支持し、マーティン境界が双曲的境界と位相的に同相であることを示すこと。

提案手法

• 準凸部分群 H と共役分離された無限巡回部分群 L = ⟨c⟩ の元を用いて、準地図的語の列を構成する。
• N-局所的準地図的性質を用いて、G のケイリー・グラフ内で構成された語が一様に準地図的であることを保証する。
• 条件 (H, L)1 < ∞ と準凸性を用いて、地図と部分路との間のハウスドルフ距離を制御する。
• 地図四角形における重複する部分の存在に基づく背理法を用いて、H と L が共役分離されていることを示す。
• ケイリー・グラフの双曲的性質とアングナの定理を用いて、非可換性とマーティン境界構造を結びつける。
• 定数 M′, C′, λ′ を固定し、語の連結が準地図的であり、生成された部分群が自明でないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な双曲的群における無限索引の準凸部分群のシュレーヤー余分類グラフは非可換か？
• RQ2 群コホホロジーに依存せずに、幾何的群論的手法を用いてこのようなグラフの非可換性を確立できるか？
• RQ3 共役分離と相対ケイリー・グラフの非可換性との関係は何か？
• RQ4 環境群の双曲的性質は、相対グラフの非可換性とどのように作用するか？
• RQ5 これらのグラフ上のランダムウォークは、双曲的境界にどの程度まで収束するか？

主な発見

• 非自明な双曲的群 G における無限索引の準凸部分群 H に対するシュレーヤー余分類グラフ Γ(G, H, A) は、正のチーレル定数によって示されるように非可換である。
• Γ(G, H, A) 上の単純ランダムウォークのスペクトル半径は 1 よりも小さいため、ウォークが瞬発的であることが確認される。
• Γ(G, H, A) 上のランダムウォークのマーティン境界は、双曲的境界 ∂X と位相的に同相であり、マーティンコンパクト化は双曲的コンパクト化と一致する。
• 自由部分群 F = ⟨a, b⟩ に属する任意の非自明な元 f に対して、語長 |f|A は λ′2+1 / λ′ − λ′ > 0 よりも大きく、これにより F はランク2の自由群であることが保証される。
• 部分群 F = ⟨a, b⟩ は G において準凸である。なぜなら、任意の地図線分 [1, f] 上の点が、F のある元の均一に有界な近傍内にあるからである。
• 証明における背理は、H と ⟨c⟩ が共役分離されていないと仮定したとき生じ、H ∩ g⟨c⟩g−1 に非自明な元が存在することにより、共役分離仮定に反する。