[論文レビュー] The non-semisimple Verlinde formula and pseudo-trace functions

Azat M. Gainutdinov, Ingo Runkel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、因子的有限テンソル圏における擬トレース関数とカテゴリカルトレースを用いて、非半単純なバージョンのヴェルリンク公式を提案する。シムズの内部的特徴指標理論と宮本およびアリケ＝ナガトモの擬トレース関数を組み合わせることで、擬トレース関数のモジュラーS変換とグロテンディーク環における融合規則を結びつける、予想的なモジュラーヴェルリンク公式を導出する。この予想は、N組のシミレクティックフェルミオンの頂点 operator 代数に対して明示的に検証されており、その際、擬トレース関数のS変換が既知（予想的）の融合規則を再現する。

ABSTRACT

Using results of Shimizu on internal characters we prove a useful non-semisimple variant of the categorical Verlinde formula for factorisable finite tensor categories. Conjecturally, examples of such categories are given by the representations RepV of a vertex operator algebra V subject to certain finiteness conditions. Combining this with results on pseudo-trace functions by Miyamoto and Arike–Nagatomo, one can make a precise conjecture for a non-semisimple modular Verlinde formula which relates modular properties of pseudo-trace functions for V and the product in the Grothendieck ring of RepV . We test this conjecture in the example of the vertex operator algebra of N pairs of symplectic fermions by explicitly computing the modular S -transformation of the pseudo-trace functions.

研究の動機と目的

• 半単純な圏を超えて、非半単純な因子的有限テンソル圏へのヴェルリンク公式の拡張を図ること。
• 頂点演算子代数（VOA）の表現のグロテンディーク環における融合規則と、擬トレース関数のモジュラーS変換を結びつける、明確な予想的モジュラーヴェルリンク公式を提示すること。
• 具体的な非半単純な例として、N組のシミレクティックフェルミオンの偶数部において予想を検証すること。
• カテゴリカルトレース構造と、対数的 conformal field theory における擬トレース関数のモジュラー性を結ぶ橋渡しをすること。

提案手法

• シムズの内部的特徴指標理論を用いて、半単純な直和をコエンドに置き換えることで、非半単純な圏へのカテゴリカルヴェルリンク公式の一般化を実現する。
• 宮本およびアリケ＝ナガトモの擬トレース関数に関する結果を応用し、非半単純な設定においてモジュラー不変量を定義する。
• 恒等関手の自己準同型の空間と、射影的生成子の自己準同型代数上の中心的関数の空間との間に線形同型を構成する。
• この同型を介して、恒等関手の自己準同型の代数構造を、中心的関数の空間へと移行させ、新しい積（記号：'s'）を定義する。
• シミレクティックフェルミオン VOA における擬トレース関数のモジュラーS変換を計算し、既知の融合規則と比較する。
• 微分作用素と、ねじれおよびねじれなしのモジュールを含む特徴指標公式を用いて、擬トレース関数を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェルリンク公式は、非半単純な因子的有限テンソル圏へどのように一般化できるか？
• RQ2 非有理的VOAのグロテンディーク環における融合規則と、擬トレース関数のモジュラーS変換の正確な関係は何か？
• RQ3 予想的な非半単純モジュラーヴェルリンク公式は、具体的な例で明示的に検証可能か？
• RQ4 内部的特徴指標と擬トレース関数は、対数的CFTにおけるカテゴリカル構造とモジュラー構造を結ぶ上で、果たす役割は何か？

主な発見

• 予想的な非半単純モジュラーヴェルリンク公式は、N組のシミレクティックフェルミオンの偶数部に適用した際、擬トレース関数のS変換に対して、融合規則を正しく再現する。
• シミレクティックフェルミオン VOA における擬トレース関数のS変換は、期待される融合規則と一致し、この予想に対する強い証拠を提供する。
• 計算により、擬トレース関数のモジュラーS変換が、中心的関数上の積's'を含む導出された公式によって正確に記述されることを確認した。
• グロテンディーク環における構造定数N^C_ABは、変換された擬トレース関数のねじれ積のS^{-1}変換における係数として回復される。
• 恒等関手の自己準同型と、End_V(G) 上の中心的関数との間の同型は、代数的構造を関数空間へと移すために不可欠である。
• 微分作用素と特徴指標恒等式を用いて、擬トレース関数のS変換の明示的公式が導出され、予想の公式と既知の融合規則との一致が確認された。