[論文レビュー] The noncommutative geometry of elliptic difference equations

Eric M. Rains|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 57被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、楕円的差分作用素を用いた非可換幾何的構成により、有理的表面の新しい非可換構成を提示する。この方法により、滑らかな反 canonical 曲線をもつ射影的有理的表面の1パラメータの変形が可能となる。この手法により、これらの非可換表面上の層と楕円的差分方程式との間の対応関係を確立し、層のモジュライ空間がポisson的かつ射影的であることを証明するとともに、導来自己同型と一般化された超幾何積分を用いて、楕円的パンルベ方程式のラクス対を構成する。

ABSTRACT

We give a new construction of noncommutative surfaces via elliptic difference operators, attaching a 1-parameter noncommutative deformation to any projective rational surface with smooth anticanonical curve. The construction agrees with one implicit in work of Van den Bergh (iterated blowups of noncommutative Hirzebruch surfaces), but the construction enables one to prove a number of new facts about these surfaces. We show that they are noncommutative smooth proper surfaces in the sense of Chan and Nyman, with projective Quot schemes, that moduli spaces of simple sheaves are Poisson and that moduli spaces classifying semistable sheaves of rank 0 or 1 are projective. We further show that the action of SL_2(Z) as derived autoequivalences of rational elliptic surfaces extends to an action as derived equivalences of surfaces in our family with K^2=0. We also discuss applications to the theory of special functions arising by interpreting moduli spaces of 1-dimensional sheaves as moduli spaces of difference equations. When the moduli space is a single point, the equation is rigid, and we give an integral representation for the solutions. More generally, twisting by line bundles corresponds to isomonodromy deformations, so this gives rise to Lax pairs. When the moduli space is 2-dimensional, one obtains Lax pairs for the elliptic Painlevé equation; this associates a Lax pair to any rational number, of order twice the denominator. There is also an elliptic analogue of the Riemann-Hilbert correspondence: an analytic equivalence between categories of elliptic difference equations, swapping the role of the shift of the equation and the nome of the curve.

研究の動機と目的

• 楕円的差分作用素を用いて、滑らかな反 canonical 曲線をもつ射影的有理的表面の1パラメータの非可換変形を構成すること。
• 非可換表面上の層と楕円的差分方程式との間の対応関係を確立し、方程式のモジュライ空間に関する新たな知見をもたらすこと。
• これらの非可換表面が Chan と Nyman の意味で滑らかでかつ固有であることを証明し、射影的 Quot スキームとポisson的モジュライ空間を持つこと。
• 有理的楕円的表面の導来カテゴリの SL2(Z) 動作を、K2 = 0 をもつ表面へと導来自己同型へと拡張すること。
• 差分方程式のシフトパラメータと楕円曲線のノームの役割を入れ替える、楕円的類似のリーマン＝ヒルベルト対応を構築すること。

提案手法

• 線分束間の準同型を差分作用素として解釈することで、楕円的差分作用素を用いて非可換有理的表面を構成する。
• 非可換 Hirzebruch 表面の吹き上げを用いて変形を実現し、Van den Bergh の暗黙的構成と整合的であることを保証する。
• 2次元多項式空間と基点条件を用いて、ねじれモジュラスと層の解析を行い、合成写像の全射性を証明する。
• コhomological双対性と導来カテゴリの技法を用いて、特にランク 0 または 1 の層のモジュライ空間を研究する。
• 2次元のモジュライ空間を差分方程式のパrameter空間として実現することで、楕円的パンルベ方程式のラクス対を構成する。
• 非可換表面上の層と楕円的差分方程式の解との関係を関係づけ、シフトパラメータとノームの間の双対性を用いて、楕円的リーマン＝ヒルベルト対応を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換有理的表面は、どのように楕円的差分作用素から体系的に構成可能か？
• RQ2 得られる非可換表面の幾何的およびコhomological的性質は何か、特に滑らかさ、固有性、およびモジュライ空間に関して。
• RQ3 有理的楕円的表面の導来自己同型作用 SL2(Z) は、K2 = 0 をもつ非可換表面へと拡張可能か？
• RQ4 これらの表面の層のモジュライ空間は、特に楕円的パンルベ方程式とどのように関係するか？
• RQ5 差分方程式におけるシフトパラメータと楕円曲線のノームの役割を入れ替える、楕円的類似のリーマン＝ヒルベルト対応は存在するか？

主な発見

• 構成された非可換表面は、Chan と Nyman の意味で滑らかでかつ固有であり、射影的 Quot スキームをもつ。
• これらの表面上の単純層のモジュライ空間はポisson多様体であり、ランク 0 または 1 の半安定層を分類するモジュライ空間は射影的である。
• 層のモジュライ空間が2次元であるとき、それは楕円的パンルベ方程式のラクス対を導く。その次数は、有理数パラメータの分母の2倍である。
• 剛体な差分方程式（モジュライ空間が一点）に対しては、一般化された超幾何積分として解を構成可能である。
• 線分束によるねじれは、自明に等モノドロミー変形をもたらし、自然に可積分系のラクス対を生成する。
• 楕円的リーマン＝ヒルベルト対応が確立され、層の圏と楕円的差分方程式の解の間の解析的同値を提供する。ここには、シフトパラメータと楕円曲線のノームの間の双対性が存在する。